II. Минимизация заданного функционала по методу Ритца

1. Описание метода Ритца

Основная идея метода состоит в том, что при разыскании экстремума функционала J[y(x)] рассматривается не всё пространство допустимых функций, а лишь всевозможные линейные комбинации допустимых функций вида

(1)

где α_i – постоянные, а система {φ_i(x)}, называемая системой координатных функций, такова, что функции φ_i(x) линейно независимы и образуют в рассматриваемом пространстве полную систему функций.

Требование, чтобы y_n(x) были допустимыми функциями, вообще говоря, накладывает на координатные φ_i(x) некоторые дополнительные условия типа условий гладкости или удовлетворения граничным условиям. На таких линейных комбинациях функционал J[y(x)] обращается в функцию аргументов α₁, α₂, α₃, …, α_n:

J[y_n(x)] = Ф(α₁, α₂, α₃, …, α_n) (2)

Находим те значения α₁, α₂, α₃, …, α_n, которые доставляют функции Ф(α₁, α₂, α₃, …, α_n) экстремум; для этого решаем систему, вообще говоря нелинейных относительно α₁, α₂, α₃, …, α_n уравнений

(i = 1, 2, …, n) (3)

и найденные значения α_i подставляем в (1). Полученная таким образом последовательность {y_n(x)} является минимизирующей последовательностью, т. е. такой, для которой последовательность значений функционала { J[y_n(x)]} сходится к минимуму или к нижней грани значений функционала J[y(x)]. Однако из того, что

,

ещё не следует, что . Минимизирующая последовательность может и не стремиться к функции, реализующей экстремум в классе допустимых функций.

Можно указать условия, обеспечивающие существование абсолютного минимума функционала и его достижение на функциях {y_n(x)}.

В случае, когда ищется экстремум функционала

,

y(x₁)=y₁, y(x₂)=y₂,

эти условия таковы:

1. Функция F(x,y,z) непрерывна по совокупности своих аргументов при любом z и при (x,y) Є D, где D – замкнутая область плоскости XOY, в которой лежат линии y_n(x)

2. Существуют константы α > 0, р > 1, β, для которых

,

каково бы ни было z и для любой точки (x,y) Є D.

3. Функция F(x,y,z) имеет непрерывную частную производную F_z(x,y,z), причём эта производная для любой точки (x,y) Є D есть неубывающая функция от z .

Сформулированные выше условия выполняются, в частности, для функционалов

вида

,

y(x₁)=a, y(x₂)=b,

где p(x), q(x), r(x) – заданные непрерывные на [x₁,x₂] функции, причём p(x) имеет непрерывную производную и p(x) > 0, q(x) ≥ 0.

Если таким методом определяется абсолютный экстремум функционала, то приближённое значение минимума функционала получается с избытком, а максимума - с недостатком. От удачного выбора системы координатных функций {φ_i(x)} в значительной степени зависит успех применения этого метода.

Во многих случаях достаточно взять линейную комбинацию двух – трёх функций φ_i(x) для того, чтобы получить вполне удовлетворительное приближение к точному решению.

В случае, когда приходится находить приближённо экстремум функционалов J[z(x₁,x₂, …, x_n)], зависящих от функций нескольких независимых переменных, выбирается координатная система функций φ₁(x₁,x₂, …, x_n), φ₂(x₁,x₂, …, x_n), …, φ_m(x₁,x₂, …, x_n) и приближённое решение вариационной задачи ищется в виде

,

где коэффициенты α_k – некоторые постоянные числа. Для определения их составляем систему уравнений (k = 1, 2, …, m), где Ф(α₁, α₂, α₃, …, α_n) - результат подстановки z_m в функционал J[z].