27.. Акр для линейных непрерывных систем.

Пусть возмущенное движение объекта записывается в форме

, (6.58)

где вектор переменных состояния объекта равен разности их между фактическими значениями и желаемыми базовыми значениями А и В; заданные матрицы чисел размеров n  n, n  m соответственно. Необходимо найти U, которое минимизирует функционал

, (6.59)

где D и C  весовые матрицы коэффициентов.

В качестве функции  примем квадратичную функцию , где k  положительно определенная симметричная матрица. Воспользуемся уравнением оптимальности Беллмана

. (6.60)

Подставляя производные от  в уравнение Беллмана

,

а затем в уравнение динамики объекта управления, получим

. (6.61)

Экстремальное значение выражения в фигурных скобках равно

. (6.62)

Откуда имеем оптимальный закон управления

(6.63)

в форме пропорционального многомерного регулятора. Закон оптимального управления включает матрицу, относительно которой было принято свойство положительности. Для нахождения численных значений элементов матрицы К подставим оптимальный закон управления в уравнение Беллмана.

Откуда находим нелинейное матричное уравнение

. (6.64)

Среди корней этого уравнения необходимо сохранить для искомой матрицы лишь те корни, которые удовлетворяют условию положительности матрицы R.

Пример 6.1. Пусть объект управления имеет вид

a функционал качества равен

.

Используя полученные уравнения оптимального закона управления, имеем

;

.

Коэффициенты матрицы R удовлетворяют следующим уравнениям

;

;

.

Решая приведенную систему уравнений, находим

.

Закон управления принимает окончательный вид:

28.. Акр для линейных дискретных систем.

Уравнения динамики движения объекта управления в переменных состояния имеют вид

(6.102)

Пусть переменные удовлетворяют естественным граничным условиям

при функционале качества

. (6.103)

Обозначим функцию, соответствующую , через

. (6.104)

Запишем функциональное уравнение Беллмана

(6.105)

Разложим в ряд Тейлора, сохранив в нем следующие члены

где .

С учетом принятой функции

(6.106)

перепишем функциональное уравнение

(6.107)

С учетом модели динамики движения объекта функциональное уравнение имеет вид

(6.108)

Производная от фигурных скобок по :

; (6.109)

. (6.110)

Обозначим выражение

, (6.111)

тогда (6.112)

Подставим выражение для оптимального закона в функциональное уравнение (6.105):

(6.113)

Откуда имеем уравнение для нахождения матрицы :

. (6.114)

В сравнении с формулами для расчета матрицы для непрерывных систем полученное выражение является более сложным. Полученный закон управления справедлив для любого такта .

Пример 6.3. Пусть уравнение объекта имеет вид

,

а критерий качества равен

.

В соответствии с выражением (6.107) имеем

или

Имеем .

Устойчивому решению будет соответствовать . Подставляя это значение в уравнение (6.112), имеем

и

.