§ 10. Гамма - распределение.
Определение
1.
Случайная величина Т имеет гамма –
распределение
,
если ее функция распределения
, (1)
где
–
неполная гамма – функция (см. §6),
–
параметры распределения;
.
Замечание.
.
Таким образом,
–
(2)
функция плотности вероятностей,
–
(3)
функция надежности,
–
(4)
функция интенсивности отказов.
Из
формулы (2) видно, что для
и , следовательно, распределение
совпадает с
.
Рис.1 Графики для распределения Г(5;1/300).
Рис.2 Графики для распределения Г(1/2;1/3000).
Найдем
еще
.
Таким
образом
. (5)
(по
формуле (3) § 6)
.
Таким образом
. (6)
Большой интерес
представляет случай, когда в распределении
параметр
– натуральное число ,
.
Определение 2.
Пусть
,
тогда распределение
называется распределением Эрланга
порядка k.
Замечание.
Так как
,
то из формулы (3) следует:
=
–
.
И далее, если проводить интегрирование по частям еще (k-2) раз, то получим
. (7)
Случайная величина Т, распределенная по закону Эрланга возникает при рассмотрении модели накапливающихся повреждений: если через случайные интервалы времени в системе возникают единичные повреждения, вызванные потоком случайных событий, и при накоплении k повреждений система отказывает. Тогда, если время между наступлением 2-х последовательных событий потока распределено по показательному закону , то Т – время наработки системы на отказ распределена по закону .
Действительно, верна теорема:
Теорема 1.
Пусть время между наступлением 2-х
соседних событий потока (время между
2-мя единичными повреждениями) распределено
по закону
.
Тогда случайная величина Y
– число
событий потока за время t
(число случайных повреждений системы)
распределено по закону Пуассона
,
т.е.
.
Подробнее о потоках случайных событий см. § 14.
Из теоремы 1 следует, что для рассмотренной выше СВ Т – времени жизни системы, функция надежности
,
что совпадает с формулой (7).
Замечание. Для системы рассмотренной выше последовательность моментов времени наступления единичных повреждений можно представить в виде:
- время наработки
системы на отказ, причем Ti
независимы
и имеют распределение
,
.
Пример
1.
Время жизни изделия Т распределено по
закону
,
причем
час. Найти показатели надежности изделия
через 4000 час.
Решение.
.
Тогда, по формуле (7)
.
.
.
Упражнения.
10.1.
Время
Т наработки устройства на отказ
распределено по закону:
.
1) Записать функции:
.
2) Найти Тср , D(T).
3) Найти показатели
надежности при
час.
Ответ.
10.2.
Время Т жизни элемента распределено по
закону
.
1) Найти показатели
надежности при
час.
2) Найти Тср , D(T).
Ответ.
час2.
10.3. а) Дана резервированная система (резерв замещением кратности m=2):
Время жизни каждого элемента распределено по закону :
1) Определить по какому закону распределено Т – время жизни системы, записать функцию p(t).
2) Найти Тср .
б) Дана резервированная система ( постоянно включенный резерв кратности m=2):
Время жизни каждого элемента распределено по закону :
1) Записать функцию p(t) для Т – времени жизни системы.
2) Найти Тср .
10.4. Дана резервированная система (резерв замещением кратности m=3).
В
ремя
жизни каждого элемента распределено
по закону
:
0. у.
а) Определить по какому закону распределено Т – время жизни системы.
б) Найти показатели надежности.
в) Найти Тср , D(T).
Ответ.
а)
.