Замена переменной в неопределённом интеграле

Пусть требуется найти интеграл . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где функция имеет непрерывную производную. Тогда , и

(3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Функцию следует выбирать так, чтобы полученный в результате замены интеграл вычислялся проще, чем исходный. После его вычисления следует перейти обратно к переменной .

Пример 6 – Найдём интеграл . Избавимся от иррациональностей, выполнив замену . Тогда , и .

В некоторых случаях целесообразно применять замену переменной в виде . Этот способ замены лежит в основе рассмотренного выше подведения функции под знак дифференциала.

Пример 7 – Интеграл

Интегрирование по частям в неопределённом интеграле

Пусть и – дифференцируемые функции. Тогда дифференциал . Интегрируя почленно это равенство, с учётом свойства 2 неопределённого интеграла получаем соотношение , откуда

. (4)

Формула (4) называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

При применении формулы (4) к нахождению интеграла подынтегральное выражение разбивается на сомножители и так, чтобы интеграл в правой части формулы (4) найти было легче, чем исходный интеграл.

Существуют следующие рекомендации по выбору и .

1. Если подынтегральная функция есть произведение многочлена на показательную функцию (например, экспоненту ) или тригонометрическую функцию, то в качестве выбирают многочлен, а всё остальное относят к .

Пример 8 – Найдём интеграл . Положим , . Тогда , , и в качестве можно взять . По формуле (4) .

2. Если подынтегральная функция есть произведение многочлена на логарифмическую функцию или обратную тригонометрическую функцию, то в качестве выбирают эту функцию, а всё остальное (в том числе многочлен) относят к .

Пример 9 – Интеграл .

Интегрирование рациональных дробей

Определение 2. Рациональной дробью (рациональной функцией, дробно-рациональной функцией) называется выражение вида , где и – многочлены степеней и соответственно.

Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( ), то рациональную дробь называют правильной. Если дробь неправильная ( ), то можно выделить в ней целую часть, представив в виде

, (5)

где – многочлен, и степень многочлена меньше , т.е. дробь является правильной.

Пример 10 – Рациональные дроби и – правильные. Дроби и – неправильные. Выделение целой части приводит их к виду (5): , .

Интегрирование целой части всегда легко выполняется.

Как интегрировать правильную рациональную дробь ?

Рассмотрим вначале простейшие случаи ( и – постоянные).

1. Простейшая рациональная дробь I типа

. (6)

Интеграл от неё приводится к табличному интегралу 4 подведением под знак дифференциала: .

2. Простейшая рациональная дробь II типа

( ). (7)

Интеграл от дроби (7) приводится к табличному интегралу 3: .

3. Простейшие рациональные дроби III типа

(8)

и IV типа

( ), (9)

в которых квадратный трёхчлен неразложим на действительные множители, т.е. его дискриминант .

Интеграл от дроби (8) выделением в числителе производной знаменателя сводится к интегралу , который вычисляется выделением полного квадрата в знаменателе.

Пример 11 – Найдём интеграл .

Выделяя в числителе производную знаменателя, равную , получаем: (вычисление последнего интеграла см. пример 5).

Интегрирование дроби IV типа (9) является наиболее сложным и трудоёмким ([], гл.X). Выделением в числителе производной трёхчлена интеграл сводится к интегралу , который после выделения полного квадрата и замены приобретает вид . Интеграл вычисляется по рекуррентной формуле, выводимой с помощью интегрирования по частям: , .

Перейдём к вопросу интегрирования произвольной правильной рациональной дроби .

Как известно (гл. ), многочлен может быть единственным образом разложен на множители вида и различной кратности, причём множители неразложимы в действительных числах (дискриминант ).

Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I – IV типа. При этом:

а) множителю соответствует одно слагаемое I типа ;

б) множителю соответствует сумма слагаемых I и II типов ;

в) множителю соответствует одно слагаемое III типа ;

г) множителю соответствует сумма слагаемых III и IV типов .

Постоянные , , …, в числителях простейших дробей находятся методом неопределённых коэффициентов. Для этого всю сумму простейших дробей снова приводят к общему знаменателю . Числитель полученной дроби тождественно равен многочлену . Сравнивая их коэффициенты при одинаковых степенях , получают систему линейных уравнений для определения , , …, .

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей I – IV типов.

Пример 12 – Найдём интеграл .

Подынтегральная дробь – правильная. Её знаменатель имеет один действительный корень и может быть представлен в виде произведения . Поэтому дробь разлагается на сумму простейших дробей .

Приводим сумму снова к общему знаменателю: .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях, получаем систему , из которой находим , , . Таким образом, (см. решения примеров 4 и 11).