Знакопеременные ряды

Такое название носят числовые ряды, содержащие бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды.

Определение. Знакочередующимся называется числовой ряд, у которого соседние члены имеют разные знаки.

Знакочередующийся ряд, у которого первый член положителен, обычно записывается в виде

, (3)

где – абсолютные величины членов ряда, .

Теорема 9 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (3) монотонно убывают по абсолютной величине: , и общий член ряда стремится к нулю при : , то ряд сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству .

Пример 9. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда .

Поскольку и для всех , то ряд сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству .

Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 9, часто называют рядом Лейбница.

Следствие. k-ый остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине: .

Следствием пользуются при приближённых вычислениях с помощью рядов, так как оно позволяет легко определять количество слагаемых ряда (2) для приближённого вычисления его суммы. Если ряд не удовлетворяет условиям теоремы 9, сделать это значительно труднее.

Пример 10. Вычислить с погрешностью, не превосходящей , сумму ряда .

Очевидно, что ряд удовлетворяет условиям теоремы 9. Поскольку у этого ряда , то . Отбросив остаток из суммы ряда S получим что с точностью

.

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим произвольный знакопеременный числовой ряд (1) . Составим из абсолютных величин его членов ряд

. (4)

Теорема 10. Если ряд (4) сходится, то ряд (1) также сходится.

Определение. Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4), составленный из модулей его членов.

Определение. Числовой ряд (1) называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд (4), составленный из модулей его членов, расходится.

Пример 11. Ряд сходится абсолютно так как ряд , составленный из модулей его членов, сходится (будучи обобщённым гармоническим рядом с показателем ).

Пример 12. В примере 9 показано что ряд сходится согласно признаку Лейбница. Однако ряд из абсолютных величин его членов есть расходящийся гармонический ряд , поэтому ряд сходится лишь условно.

Для произвольного ряда задача «исследовать сходимость» означает установление факта сходимости или расходимости этого ряда и в случае сходимости проверку того, как сходится этот ряд: абсолютно или условно.

Во многих случаях об абсолютной сходимости того или иного ряда можно судить на основании уже известных признаков (теоремы 5 – 7), соответствующим образом переформулированных.

Признак сравнения: если члены ряда (u) , взятые по модулю, не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (v) с положительными членами: , , то ряд (u) сходится, притом абсолютно.

Замечание. Если и ряд (v) расходится, то ряд (u) не обязательно расходится! Он может и сходиться условно! Таким образом, часть б) теоремы 5, касающаяся расходимости ряда с бóльшими членами, здесь не работает.

Признак Даламбера: если для ряда существует конечный предел , то при данный ряд сходится, притом абсолютно, при – расходится.

Радикальный признак Коши: если для ряда существует конечный предел , то при данный ряд сходится, притом абсолютно, при – расходится.

Замечание. Расходимость при следует из того, что тогда .

Необходимость различать абсолютно и условно сходящиеся ряды объясняется их существенно различными свойствами и, прежде всего, следующим:

Теорема 11 (переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда). Если в абсолютно сходящемся ряде переставить как угодно члены, то получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного.

Условно сходящиеся ряды переместительным свойством «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» не обладают. В любом условно сходящемся ряде можно так переставить члены чтобы вновь полученный ряд имел наперёд заданную сумму. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда что он станет расходящимся.