Некоторые типы ду первого порядка, интегрируемые в квадратурах

1. Ду с разделёнными переменными .

Интегрируем обе части: . Если , , то, объединяя произвольные постоянные, имеем соотношение , из которого получаем общий интеграл, либо общее решение.

Большинство методов решений ДУ первого порядка состоит в сведении их к ДУ с разделёнными переменными и последующем интегрировании. Поэтому процесс нахождения решений ДУ называется интегрированием.

2. ДУ с разделяющимися переменными.

Если в ДУ (2), разрешённом относительно производной, правая часть то ДУ имеет вид

. (5)

Если в дифференциальной форме записи ДУ (3) функции , , то ДУ имеет вид

. (6)

ДУ (5), (6) называются уравнениями с разделяющимися переменными.

В самом деле, переменные в ДУ (5) разделяются, если поделить обе его части на и учесть, что : .

Переменные в ДУ (6) разделяются, если поделить обе его части на произведение . Имеем тогда .

Ограничения и могут приводить к потере частных решений. Проверка этого выполняется отдельно.

Пример 3. Решим ДУ . Разделим переменные, считая : . Интегрируем: , ( ), находим общее решение , ( ).

Отдельно рассматриваем случай . Подстановкой в ДУ убеждаемся, что и , и являются его частными решениями, при этом получается из общего решения при , а решение не содержится в общем решении. Объединяя найденное, получаем ответ: (С – любое), .

Последний пример показывает, что могут существовать частные решения, не входящие в общее решение ни при каком значении постоянной c.

3. Однородные ду первого порядка.

Определение. Функция называется однородной функцией степени k (измерения k), если (λ – любое).

Пример 4. – однородная функция степени 2. В самом деле, .

Пример 5. – однородная функция степени 0.

Уравнение в дифференциальной форме записи (3) называется однородным, если и являются однородными функциями одной и той же степени.

ДУ вида (2) называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевой степени.

Всякую однородную функцию нулевой степени можно представить в виде . Так, в примере 5 . Отсюда следует, что ДУ (2) можно записать в виде . Поэтому однородные ДУ сводятся к ДУ с разделяющимися переменными заменой , или , где – новая неизвестная функция.

Пример 6. Дано ДУ . Считая , разрешим его относительно производной: . Это однородное ДУ, как следует из примера 5. Преобразуем в нём правую часть: , и сделаем замену . Тогда . Подставляя в ДУ, после приведения подобных имеем: . Разделим переменные: , . Интегрируя, находим , . Делая обратную замену, получаем общее решение: , .

Возвращаемся к ограничениям и . Подстановкой в ДУ убеждаемся, что является частным решением, которое не входит в найденное общее решение ни при каком значении . Далее, даёт решение , входящее в общее только при , что исключено. Объединяя, получаем ответ: ( ), , .

Замечание. Функции и – однородные функции одной и той же степени 2, поэтому исходное ДУ – однородное, и можно было, не преобразовывая, сразу выполнить в нём замену .