12. Дифференциал. Связь между производной и дифференциалом. Дифференциал

 

Определение. Главная линейная относительно х часть малого приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Если малое приращение функции можно представить в виде  , где   - б.м. функция более высокого порядка, чем х при   ( ), тогда

.

Пример.  .

,

.

Теорема. Функция не может иметь двух различных дифференциалов.

Доказательство. Предположим противное – функция имеет два дифференциала. Тогда малое приращение функции можно представить в виде

,

,

где  ,   - б.м. функции более высокого порядка, чем х при  . Вычтем эти равенства:

.

Разделим обе части на х:

.

Переходя к пределу в обеих частях равенства при  , получим

,

.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Связь между производной и дифференциалом

 

Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеетдифференциал.

Доказательство. Функция   - дифференцируема в точке х₀,

.

По теореме о связи предела и б.м. функции:

, 

где   - б.м. функция при  .

Умножим обе части на х:

,

 - б.м. функция более высокого порядка, чем х.

.

Следовательно, функция имеет дифференциал и  .

Теорема 2. Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.

Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал  . Тогда

.

Разделим обе части на х:

.

Переходя к пределу при  , получим

.

Таким образом, функция имеет производную и  .

Из этих теорем следует, что  .

13. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала

 

Дана дифференцируемая функция y=f(x). Возьмем произвольную точку x₀ и проведем в этой точке касательную к графику. Дадим аргументу приращение x.

          рис 13    

 

Рассмотрим ABD:

y=f(x)

,

,

,

.

Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке.

Свойства дифференциала

Дифференциал обладает следующими основными свойствами.

1.      d(с)=0.

2.      d(u+w-v)= du+dw-dv.

3.      d(uv)=du·v+u·dv.

d(сu)=сd(u).

4.       .

5.      y=f(z),   ,   ,

.

Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.

14. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Рассмотрим дифференцируемую функцию y=f(x).

,  ,

,

.

Получаем формулу, используемую в приближенных вычислениях:

.

Пример. Вычислить  .

f(x)=  ,

,

x₀=30^o,

x=1^o,

.

15. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Дана функция y=f(x), дифференцируемая на интервале (a,b), т.е. на этом интервале она имеет производную  , являющуюся некоторой функцией от х. Предположим, что эта функция также дифференцируема на интервале (a,b). Тогда ее производная называется второй производной от исходной функции  . Полученная функция может вновь оказаться дифференцируемой. Тогда ее производная называется третьей производной:  .

Производной n-го порядка от функции y=f(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка:

.

Пример.  ,

,

,

,

,

,

.

Правило Лопиталя

 

Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,   (x)  0  в некоторой окрестности точки  а  и  , то

.

Пример 1.  .

Замечание. Правило Лопиталя распространяется на раскрытие неопределенностей вида  .

Пример 2.  .