Интеграл Фурье
Как известно разложение периодической функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, в ряд Фурье имеет вид:
где k1 = k = k2/T принимает дискретные значения 1=2/T; 2=22/T... и т.д., а коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
;
;
Интервал между круговыми частотами соседних гармоник:
Подставляя в формулу ряда Фурье значения коэффициентов A0, Bk, Ck:
Т.к. t не зависит от x, то его можно внести под знак интеграла:
Устремляя
T к бесконечности, заключаем, что
если функция f(x) абсолютно интегрируема
в бесконечных пределах (т.е. если конечен
интеграл
,
то конечное значение имеет также
интеграл
при любых k=k1
и t. При этом же условии:
При T 0 (d), суммирование заменяется на интегрирование в пределах от 0 до +. Таким образом, выражение для f(t) преобразуется к следующему виду:
Т.к. T, функция f(t), заданная на промежутке - t + является уже непериодической функцией. Поэтому можно утверждать, что формула (1) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических функций с непрерывно изменяющимися частотами и бесконечно малыми амплитудами. Таким образом, непериодическая функция характеризуется непрерывным спектром частот, в то время как периодическая функция — дискретным. Выражение (1) носит название интеграла Фурье в тригонометрической форме.
В силу четности функции cos((t-x)) относительно можно записать:
Рассмотрим
теперь функцию
Т.к. функция sin( (t-x)) нечетна относительно , то данный интеграл равен 0. Умножим теперь равенство (3) на j и сложим его с (2). Учтем при этом, что
После данных несложных преобразований получаем интеграл Фурье в комплексной форме (4):
Если теперь рассмотреть внутренний интеграл как функцию от – F(j)
то
Если f(t) задана на промежутке от 0 до +, а на промежутке от - до 0 равна нулю, то можно записать
Равенство (7) — это одностороннее прямое преобразование Фурье. Комплексная функция частоты F(j) дает закон изменения комплексной амплитуды гармоник в зависимости от частоты и называется спектральной плотностью (спектральной или амплитудно-фазовой характеристикой, годографом) или, короче, спектром заданной функции f(t). F() - амплитудно-частотная характеристика (четная функция частоты); () - фазочастотная характеристика (нечетная функция частоты). F() также называют спектральной плотностью амплитуд или спектральной характеристикой непериодического сигнала; () — спектром фаз или фазовой характеристикой непериодического сигнала.
Равенство (6) представляет собой обратное преобразование Фурье.
Таким образом F(j) по модулю и фазе характеризует гармонику частоты , а выражение (1/2)F(j)exp(jt) представляет собой гармонику с частотой функции f(t). Эта гармоника выражена в комплексной форме, имеет бесконечно малую амплитуду и называется элементарной.
Сравнивая формулы прямого и обратного преобразования Лапласа
с формулами прямого и обратного преобразования Фурье, заключаем, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, получается из него при p = j и применимо для более узкого класса функций f(t). Следовательно частотный спектр F(j) функции f(t) получается из её Лапласова изображения F(p) по формуле:
Таким образом, имеется аналогия в преобразованиях Лапласа и Фурье, в частности и то, и другое можно использовать при расчете переходных процессов.
Рассмотрим спектр некоторых наиболее часто встречающихся сигналов. Для иллюстрации найдем спектр видеоимпульса - одиночного прямоугольного импульса, имеющего длительность tи (рис. 3.23).
И
так:
Найдем точки, в которых спектральная плотность амплитуд принимает нулевые значения:
Таким образом спектральная плотность видеоимпульса имеет нули на частотах k/tи. График спектральной плотности амплитуд одиночного видеоимпульса представлен на рис. 3.24.
Рассмотрим импульсную функцию. Спектр импульсной функции Sи(t) определяется через интеграл:
График спектральной плотности амплитуд импульсной функции представлен на рис. 3.25 сплошной линией. Рассмотрим ступенчатую функцию 1(t). Ее спектр определяется через интеграл:
Спектральная плотность амплитуд ступенчатой функции (единичного скачка) представлена на рис. 3.25. пунктирной линией.