26. Соотношение неопределенностей Гейзанберга.

Во многих случаях классические представления неприменимы для описания микрообъектов. В. Гейзенберг (1927) выдвинул идею о принципиальной невозможности измерения определенных пар связанных между собой характеристик частицы так, чтобы они одновременно имели точные значения.

Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно точных значений координаты (х, у, z) и компонентов импульса (р_х, p_y, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условию

Δx·Δp_x ≥ ħ,

Δy·Δp_y ≥ ħ, (74)

Δz·Δp_z ≥ ħ,

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка ħ. Следовательно, чем меньше неопределенность одной из величин (х, у, z или р_х, р_у, p_z), тем больше неопределенность другой.

В квантовой теории важна еще одна пара канонически сопряженных величин, для которой соотношение неопределенностей (соотношение неопределенностей для энергии и времени) имеет вид

ΔEΔt ≥ ħ, (75)

где ΔЕ – неопределенность энергии некоторого состояния системы, Δt – промежуток времени, в течение которого оно существует.

Поэтому если в классической механике наличие координат и импульсов (скоростей) системы точно задает ее поведение во времени и пространстве, то предсказание поведения квантовой системы должно носить вероятностный характер.

27.Временное и стационарное уравнение Шредингера. Волновая функция и ее свойства.

Э. Шредингер (1926) постулировал фундаментальное соотношение – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, справедливость которого (как и всяких постулатов) подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов. Уравнение Шредингера – нерелятивистское уравнение относительно основной характеристики состояния микрообъектов – волновой функции ψ(r,t) – и имеет вид

, (79)

где ħ = h/(2π), m – масса частицы, Δ – оператор Лапласа , i – мнимая единица, U (r,t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором частица движется. Это уравнение называют временным уравнением Шредингера. В квантовой механике оно играет такую же роль, как уравнение Ньютона в классической.

Если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U (r) не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии, то решение уравнения (79) можно искать в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени: ψ(r,t) = ψ(r)·φ(t) (80)

Подставив функцию (80) в уравнение Шредингера (79) и разделив левую и правую части на произведение ψ(r)·φ(t), получим

(81)

Так как левая часть уравнения (81) зависит только от r, а правая – только от t, то их можно приравнять одной и той же постоянной разделения, в качестве которой, как можно показать, можно выбрать Е – полную энергию частицы. Таким образом,

(82)

(83)

Уравнение (82) называют стационарным уравнением Шредингера. Его обычно записывают в более удобном виде:

(84)

Явный вид стационарного уравнения Шредингера определяется конкретной зависимостью U (r).

Решая уравнение (83), получаем, что , (85)

где С – произвольная постоянная. Подставляя (85) в (80), видим, что в случае стационарного силового поля состояние частицы описывается волновой функцией

[постоянная С включена в функцию ψ(r)], откуда следует, что стационарность состояния не исключает зависимости волновой функции от времени, а только ограничивает ее гармоническим законом . В стационарном состоянии плотность вероятности выражается только через ψ(r) и не зависит от времени. Общепринято ψ(r) также называть волновой функцией, хотя она является только координатной (амплитудной) частью волновой функции ψ(r,t) стационарного состояния.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Однако в общем случае состояние частицы в квантовой механике задается более сложной, вообще говоря комплексной, функцией ψ(r,t), зависящей от координат и времени. Эту функцию называют волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля.

Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в момент времени t, согласно статистической интерпретации ψ - функции,

.

Величина имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в окрестности данной точки пространства. Плотность вероятности – величина, наблюдаемая на опыте, в то время как сама волновая функция, являясь комплексной, наблюдению недоступна. В этом заключается существенное отличие в описании состояний частиц в квантовой и классической механике (в классической механике величины, описывающие состояние частиц, наблюдаемы).

Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором объеме V, согласно теореме сложения вероятностей

(76)

Проинтегрировав выражение (76) в бесконечных пределах, получим вероятность того, что частица в момент времени t находится где-то в пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории вероятностей считают равной 1. Поэтому принимают, что

(77)

Условие (77) называют условием нормировки, а функцию ψ – нормированной волновой функцией.

Так как волновая функция – объективная характеристика состояния микрочастиц, то она должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

В квантовой механике для волновых функций выполняется принцип суперпозиции состояний: если какая-либо система (частица или их совокупность) может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями ψ₁, ψ ₂, …, ψ _n, то она может находиться в состоянии ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций: ,

где С_n (n = 1, 2, ...) – произвольные (в общем случае комплексные) числа, при этом квадрат модуля коэффициента С_n т. е. \ С_n\², равен вероятности обнаружить, что система, представленная состоянием ψ, может оказаться в состоянии ψ_n.