Вопрос 10 Квантово-механическая частица в потенциальной яме с конечными стенками.

Рассмотрим задачу о движении частицы в потенциальной яме со стенками конечной высоты (рис. 14.1).

Н

Рис. 14.1

айдем собственные волновые функции и собственные значения энергии , которые удовлетворяли бы граничному условию: при больших значениях функция (х) стремится к нулю. Рассмотрим только правую половину ямы ( ).

В области II уравнение Шредингера записывается в виде

.

Решение этого уравнения имеет вид

,

где . При этом в области II  0. Граничному условию для области II удовлетворяет решение

. (14.1)

В области I уравнение Шредингера записывается в виде

,

а решения этого уравнения имеют вид

● при нечетных значениях n

; (14.2)

● при четных значениях n

, (14.3)

где ².

При -функция должна удовлетворять стандартным условиям

; . (14.4)

Для нечетных энергетических уровней получаем соотношения

; .

Разделив эти соотношения, получим

.

Учитывая, что и , запишем

. _. (14.5)

Уравнение (14.5) является трансцендентным и может быть решено либо графически, либо методом итераций.По найденному любым из этих способов собственному значению энергии (значения положительных корней этого уравнения) можно определить собственные значения -функции, и соответственно,

; .

Для четных значений n получим трансцендентное уравнение, которое позволит определить собственные значения энергии и -функции на четных энергетических уровнях:

.

Поскольку тангенс и котангенс периодические функции, частица в потенциальной яме может иметь лишь дискретные уровни энергии. Чем глубже яма, тем больше уровней энергии разрешены для частицы, причем уровни, которым отвечают четные и нечетные волновые функции, чередуются.

На рис. 14.2 показаны уровни энергии, а на рис. 14.3 – волновые функции, соответствующие первым трем энергетическим уровням для ямы конечной глубины (сплошные линии) и в бесконечно глубокой потенциальной яме (штриховые линии).

Рис. 14.2 Рис. 14.3

В заключение заметим, что общее решение задачи о частице, находящейся в прямоугольной яме конечной глубины, встречается при рассмотрении многих задач атомной физики, например, эмиссии электронов из металлов, радиоактивного распада и т. д.

Вопрос 12 Туннельный эффект.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой и шириной l (рис. 16.1).

П

Рис. 16.1

о классическим представлениям, поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера ( ), то частица беспрепятственно проходит над барьером и на участке 0  х  l лишь уменьшается скорость частицы. Затем при х  l скорость принимает первоначальное значение. Если же , то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантово-механическому описанию. Даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области х  l. Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай . Для областей I и III (U = 0) уравнение Шредингера имеет вид

. (16.1)

Для области II ( и ) уравнение имеет вид

. (16.2)

Положим, что решение уравнения (16.1) имеет следующий вид:

.

Тогда подстановка этой функции в уравнение (16.1) приводит к характеристическому уравнению

,

где и .

Общее решение уравнения (16.1) имеет следующий вид:

● для области I:

;

● для области III:

.

Решив подстановкой уравнение (16.2), получим общее решение этого уравнения для области II в виде , где .

Заметим, что решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида волне, распространяющейся в противоположном направлении.

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении для следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся стандартными условиями, которым должна удовлетворять ‑функция,

и ; и .

Из этих условий вытекают соотношения

; (16.3)

Разделим все уравнения (17.3) на и введем обозначения , , , и . Тогда уравнения (16.3) примут вид

; (16.4)

Количественно эффект туннелирования можно оценить, вычислив плотность вероятности обнаружения частицы в каждой из областей пространства. Оценим степень прозрачности потенциального барьера.

В случае пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения:

.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности):

.

Коэффициенты отражения и прозрачности связаны соотношением

.

В результате решения системы уравнений (16.4), получается

.

Значение обычно бывает больше единицы, поэтому, учитывая, что , получим

.

Отношение имеет значение порядка единицы. Поэтому окончательно можно считать, что

.

Из полученного выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер зависит от ширины барьера l и от разности энергий ( ).

Если при какой-либо ширине барьера коэффициент прохождения D равен 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным 0,01² = 0,0001, т. е. уменьшится в 100 раз. Тот же эффект вызвало бы возрастание в четыре раза значения ( ). Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m.

Рис. 16.2

На рис. 16.2 изображены: в области I – действительная часть падающей волны ( ); в области II – экспоненциально убывающая ‑функция ( ) и в области III – действительная часть прошедшей волны ( ). Построение выполнено при условии пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, при этом и .

В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 16.3) коэффициент прозрачности определяется более общей формулой

).

П

ри преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом. На основе этого эффекта построены многие современные приборы, например туннельные диоды и транзисторы.

Рассмотрим случай, когда (рис. 16.4). Для области I уравнение Шредингера имеет вид

, (16.5)

для области II

. (16.6)

Общие решения уравнений (16.5) и (16.6) имеют следующий вид:

● для области I

;

● для области II

,

где и .

Заметим, что, как и в случае высокого потенциального барьера, решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида – волне, распространяющейся в противоположном направлении.

В области II имеется только волна, прошедшая над барьером и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении для следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов можно воспользоваться стандартными условиями, которым должна удовлетворять функция :

; . (16.7)

В области II , следовательно, действительная часть волновой функции ( ) представляет собой косинусоиду с волновым числом

.

При длина волны (волновое число ) действительной части ‑функции в области II совпадает с длиной волны действительной части волновой функции в области I. С ростом значение волнового числа уменьшается (длина волны увеличивается), и в пределе при действительная часть волновой функции в области II перестает быть гармонической. На рис. 16.5 изображены действительная часть падающей волны ( ) и действительная часть прошедшей волны ( ).

Рис. 16.5

Используя стандартные условия (16.7), можно показать, что коэффициент отражения и коэффициент прохождения для низкого ( ) потенциального барьера бесконечной ширины имеют вид

; .