Составные критерии оптимизации

В различных областях техники широко используются составные критерии опти­мизации, позволяющие свести в один отклик несколько характеристик. Этот раздел оптимизации относится к задачам векторной или многокритериальной оптимизации[1].

Использование составных критериев требует введения на частные критерии ог­раничений. Покажем это на примере составного критерия типа

где W, и W₂ - частные критерии оптимизации.

Использование этого критерия может привести к отрицательным последствиям, ес­ли не учитывать ограничения, накладываемые на эти критерии. Например, при W₂=0 составной критерий стремится к , что делает оптимизацию бессмысленной.

В таких слу­чаях требуется вводить ограничения на значения частных критериев W₁ и W₂. Б. М. Ребриком и др. [49] предложен так называемый критерий эффективности

(2.11)

где W - энергия, затрачиваемая на бурение определенного интервала или всей сква­жины, квт; t - время бурения, ч.

Для учета такого важного фактора, как металлоемкость оборудования, предлага­ется использовать дополнительный критерий G:

(2.14)

где М- совокупная масса оборудования, кг.

Для сопоставления различных типов буровых коронок и др. может использоваться составной критерий

(2.15)

где V_М - средняя механическая скорость бурения, м/час; Н - углубка на коронку или долото, м.

Составной критерий оптимизации может быть представлен в виде:

где: V_mm - механическая скорость бурения;

W_vct - удельная работа, затрачиваемая на разрушение породы; р; п; Q - соответственно осевая нагрузка, частота вращения и подача промы­вочного агента.

Применительно к эксплуатации скважин на нефть, газ и воду критерий оптими­зации может быть выражен в виде Э₁:

где: Q - максимальное количество добытого полезного ископаемого; Σ К - стоимость строительства и добычи.

На стадии разведки подземных вод А. В. Панков рекомендует в качестве крите­рия оценки использовать стоимость удельного дебита.

А. М. Демидов предлагает за оценку экономической эффективности способа бу­рения принимать приведенные затраты на разведку

где: С_р - стоимость разведочных работ, руб; Т_р - продолжительность разведки, год; Е - нормативный коэффициент эффективности; К - капитальные вложения в разведку, руб.; ΣЗ - общий прирост запасов подземных вод, м³.

БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

В большинстве случаев приходится решать задачу по свертыванию в один от­клик двух или нескольких критериев оптимизации. Трудности такой операции за­ключаются в том, что критерии имеют различный физический смысл и различную размерность.

Здесь на помощь приходят специальные приемы [1,4].

Рассмотрим случай, когда объект имеет n выходных параметров у,, у₂...y_n ха­рактеризующий этот объект. Введем простейшее преобразование: составим шкалу из двух значений: 0 и 1.

Обобщенный критерий расчитывается по формуле:

.

Легко заметить, что, если один из преобразованных параметров оказывается равным нулю, то и обобщенный критерий также равняется нулю, т.к. не отвечает требованиям, предъявляемым к объекту.

Обоснование величины веса а, требует учета имеющегося опыта. Здесь прихо­дится в основном опираться на опыт экспериментаторов. Часто такая формализа­ция состоит в использовании метода экспертных оценок.

Построение обобщенного критерия оптимизации путем использования так на­зываемых «шкал желательности» относится к психофизиологическим методам. В практике наибольшее применение получила шкала Харрингтона. В ее основе ле­жит идея преобразования натуральных значений выходных параметров у, в безраз­мерные величины шкалы - d:

«Шкала желательности» имеет интервал от нуля до единицы. Значение d=0 со­ответствует абсолютно неприемлемому уровню выходного параметра, а значение d=l - самому лучшему. Установлены следующие стандартные отметки шкалы (таблица 2.2).

Таблица 2.2

Стандартные отметки по Шкале желательности

Желптельность	Отметка по шкале желательности, di
Очень хорошо	1,00 - 0,80
хорошо	0.80 - 0.63
удовлетворительно	0.63 - 0.37
плохо	0,37 - 0,20
очень плохо	0,20 - 0,00

Bмея набор значений di, d₂, d_}....d_n, можно перейти к нахожде­нию обобщенного параметра оптимизации D, названного Харрингтоном обобщен­ной функцией желательности. Расчет ведется по формуле:

«Шкалы желательности» в разведочном бурении могут, например, использо­ваться для оценки работы буровой бригады по показателям производительности и качества выполняемых работ применительно к конкретным условиям производства и др.

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Методы принятия компромиссных решений широко применяются в практике оптимизации многокритериальных задач.

Рассмотрим сначала общие положения в решении таких задач. Сначала опреде­ляются критерии оптимизации в порядке их важности: W₁, W₂, W₃ .... W_n.

Будем считать, что каждый из них нужно обратить в минимум или максимум. Сначала найдем решения, обращающие в минимум (максимум) главный критерий оптимизации W₁.

В практике чаще приходится иметь дело не с одним, а с несколькими критерия­ми оптимизации, что существенным образом усложняет выбор оптимального реше­ния. Такого рода многокритериальные задачи составляют предмет векторной опти­мизации. Одним из подходов в решении таких задач является метод Порето [18]. Покажем это на примере.

Пусть имеются критерии оптимизации W, и W₂ , которые, например, желательно максимизировать. Заметим, что весьма просто перейти от максимума к минимуму. В результате эксперимента получены десять решений: х₁, х₂.......х₃, каждому решению соответ­ствуют определенные значения W_t и W₂ (рис. 2.4). Очевидно, что из всего множества решений эффективными будут лишь решения х₁, х₄ и x₇.

Принцип Порето не определяет единственное решение, он только сужает число альтернатив.

Различают три основных подхода в принятии компромисса.

Аддитивные критерии предусматривают образование целевой функции путем сложения нормированных значений частных критериев. При этом следует опериро­вать не с «натуральными», а с нормированными частными критериями, представ­ляющими собой отношение «натурального» частного критерия к некоторой норми­рованной величине, измеряемой в тех же единицах, что и сам критерий. Выбор вели­чины нормированного показателя может быть обоснован в следующих двух подхо­дах.

Первый подход предполагает принимать в качестве нормированного критерия некоторое значение, директивно заданное заказчиком. Слабым моментом является негласное предположение того, что такое заданное нормированное значение являет­ся оптимальным.

Второй подход предполагает принимать в качестве нормированного делителя некоторое максимальное значение, достигнутое в области принимаемых решений. Возможен еще один подход, когда в качестве нормированного делителя принимается разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Обобщенный мультипли­кативный критерий оптимальности:

Мультипликативный критерий образуется путем простого перемножения част­ных критериев.

В случае, когда параметры имеют различную важность, в них вводятся весовые коэффициенты с,:

Существенным недостатком данных критериев является субъективность в назна­чении численных значений весовых коэффициентов. Здесь следует руководствовать­ся опытом предыдущих исследований и др.