45. Интегрирование рациональных функций.

Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно. 

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где   - правильная рациональная дробь. 

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

Q(x)=(x-a)ⁿ…(x-a)^m(x²+px+q)^r

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. 

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).  Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. 

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где  Затем применяются следующие формулы:

Интеграл   может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

6. 

46. Интегрирование иррациональных функций.

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей   используется подстановка  .  Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме  , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.  Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида  , интегрируется с помощью подстановки  .  Интегрирование иррациональных функций, содержащих   и  , рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки  В данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида  , где R - рациональная функция x и квадратного корня  .  Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

Выполнив замену  , мы получим один из следующих 3 интегралов в зависимости от значений коэффициентов a, b и с:

1. 

2. 

3. 

Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок. 

1. Интегралы вида 

Тригонометрическая подстановка:

2. Интегралы вида 

Тригонометрическая подстановка:

Гиперболическая подстановка:

3. Интегралы вида 

Тригонометрическая подстановка:

Гиперболическая подстановка:

Примечания:

• Вместо тригонометрических подстановок в случаях 1, 2, 3 можно использовать, соответственно, подстановки x = r cos t, x = r ctg t, x = r cosec t.

• В приведенных выше формулах рассматриваются только положительные значения квадратного корня. Например, в строгой записи

Мы полагаем, что  .

47. Интегрирование дифференциального бинома. 

Выражение вида,  где m, n, p, a, b - постоянные числа, называемые дифференциальным биномом.

Интеграл    может быть выражен через элементарные функции в следующих случаях:

1) p - есть целое число,

2)   - целое число,

3)   - целое число,

48. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Рассмотрим интегралы вида  . Если хотя бы одно из чисел  или  - нечетное положительное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы  оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Пример 14. Найти  .

Решение. Имеем

 

Если   и  - четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

;  ;  .

Пример 15. Найти  .

Решение.