2.2 Создание физической (концептуальной) схемы

Как уже упоминалось на этом этапе необходимо определить, какие феномены (явления) и процессы будут учитываться в математической модели, на какие законы, правила, экспериментальные данные модель будет “опираться”, а также сформировать допущения. Этот этап обычно требует творческих усилий и наличие значительного опыта в предметной области. Как правило, в моделируемой системе протекает множество процессов, но только некоторые из них необходимо учитывать. Строго говоря, следует оценить и проанализировать влияние всех процессов в диапазонах изменения параметров системы, а затем отбросить несущественные явления и на их основе принять необходимые допущения. Эта работа является трудоемкой и длительной, но если разработчик модели имеет значительный опыт в предметной области, то он может довольно быстро оценить необходимость учета того или иного явления. При формировании допущений следует также учитывать располагаемые время и ресурсы и использовать прототипы. Важное значение при формировании физической схемы имеет выделение величин, которые определяются экспериментально, заимствуются из “внешних” источников или устанавливаются на основе экспертных (интуитивных) оценок. В математическом моделировании принято считать, что величины такого типа определяются по модели “черного” ящика. Приведем некоторые примеры формирования концептуальных схем.

A. Процессы в каталитическом нейтрализаторе NO_x.

Очевидно, что необходимо каким-то образом учитывать превращения NO_x в N₂ и O₂, которые происходят при прохождении продуктов сгорания через каталитический слой. Для этого будем считать справедливым известное уравнение химической кинетики для поверхностных реакций:

(2.1)

где C_NO – концентрация NO; k_NO – константа скорости реакции.

При этом принимаются следующие допущения:

- вещества NO_x представляются только окисью азота NO;

- превращение NO происходит только в каталитическом слое;

- при расчете превращения NO изменение давления не учитывается (принимается P = P₀);

- толщина каталитического вещества постоянна по всему блоку катализатора и имеет во всех точках одинаковое гидравлическое сопротивление;

- гидравлические потери на других участках нейтрализатора несущественны;

- температура продуктов сгорания T_в не изменяется по времени.

Кроме того предполагаем, что температура катализатора равна T_в и влияние теплового эффекта реакции на эту температуру пренебрежимо мало. Эти допущения позволяют исключить из математической модели уравнение теплообмена между продуктами реакции и катализатором. Для определения гидравлических потерь необходимо использовать какие-то соотношения гидродинамики для движения газа в пористой среде с учетом сил трения, например:

(2.2)

где; W = W₀/;  – коэффициент гидравлического сопротивления;  - пористость катализатора; W₀ – скорость газа перед входом в каталитический слой; d_p – средний диаметр пор в каталитическом слое.

Примем также, что:

- продукты сгорания на входе в нейтрализатор имеют постоянный состав и расход G;

- с течением времени катализатор не меняет своих свойств;

- при протекании через каталитический слой предполагаем справедливым уравнение сохранения вещества:

(2.3)

где  – плотность продуктов сгорания; W – скорость внутри каталитического слоя; F - поверхность каталитического слоя.

Величинами типа “черный ящик”, т.е. определяемые экспериментально или заимствованные из литературы, будут:

- константа скорости k_NO, представляемая в форме:

(2.4)

где A и E – постоянные,  = 64/Re; Re – число Рейнолдса, которые предполагаются известными. Известными величинами являются также G, T_в, , P₀ (давление на входе) и геометрические параметры , d_p, L, d (внутренний диаметр каталитического слоя).

B. Охлаждение помещения мастерской.

Предварительно отметим, что в этом примере до момента прекращения подачи тепла в батареи, имело место некоторое стационарное состояние, когда тепловой поток (Q⁺) от батарей был равен тепловому потоку ( ), выходящему наружу через стены и окна. Распределение температур по толщине стен было стационарным, т.е. не зависящим от времени (Рис. 2.4).

При этом температуры воздуха и оборудования были одинаковыми. Но с прекращением подачи тепла (Q⁺ = 0) тепловая энергия продолжает выходить наружу ( ) и температура в помещении (T_п) начинает опускаться. Этот процесс протекает достаточно медленно (т.к. запас тепловой энергии воздуха и оборудования значителен) и занимает несколько часов и является нестационарным, когда T_п и распределение температуры T по толщине стенки меняются во времени, т.е. .

Фиг. 2.4 Схема передачи тепла через стенку на стационарном режиме.

Целью планируемой модели является вычисление зависимости . Параметрами, влияющими на эту характеристику, являются: , свойства материала стенки (C_c, _c, _c), геометрические размеры помещения, а также теплосодержание оборудования. При формировании физической схемы примем следующие допущения:

- суммарная площадь окон и дверей пренебрежимо мала по сравнению с площадью стен;

- тепло не уходит через потолок в связи с его высокой теплоизоляцией;

- помещение представляет собой параллелепипед с размерами a, b, z (z – высота помещения);

- наружные стены выполнены из однородного материала с параметрами (C_c, _c, _c) и имеют везде одинаковую толщину ;

- температура атмосферы (T_a) задана и не меняется;

- воздух и оборудование в помещении имеют одинаковую температуру (T_п), которая понижается со временем;

- масса (M_об) и теплоемкости материала оборудования (С_об) и воздуха (M_в, С_в) являются постоянными и известными.

Величинами типа “черный ящик” являются коэффициенты теплоотдачи: от воздуха помещения к стенке (h⁺) и от стенки в окружающую среду ( ) При создании модели необходимо опираться на следующие законы и соотношения:

- закон сохранения энергии (изменение теплосодержания воздуха и оборудования dU равно тепловому потоку, уходящему в стенку):

(2.5)

где S – поверхность соприкосновения с окружающей средой.

- закон Ньютона о передаче тепла между газом и стенкой:

(2.6)

- уравнение нестационарной передачи тепла внутри стенки:

(2.7)

где - коэффициент температуропроводности.

Необходимо учитывать также, что S = 2(a + b)z.

C. Изменение зарплаты и занятости.

Цель этой модели - определить, как меняется зарплата p(t) и число сотрудников, работающих на предприятии N(t), по времени, если по тем или иным причинам произошло их внезапное отклонение от некоторых установившихся значений p_u, N_u. Данная задача относится к области производственно-общественных отношений, для которых практически отсутствуют законы, количественно описывающие деятельность человеческого общества. Однако, разнообразная статистическая информация позволила сформировать некоторые правила, в том числе и относящиеся к взаимодействию работников наемного труда и работодателя. Два таких правила имеют отношение к нашей задаче:

- на внезапное изменение числа работающих работодатели реагируют изменением зарплаты за время Δt пропорционально отклонению численности работающих от равновесного значения. Это отклонение описывается соотношением:

₁ > 0 (2.8)

- на внезапное изменение зарплаты работающие реагируют изменением числа занятых (N) за время Δt пропорционально отклонению зарплаты от равновесного значения. Это отклонение описывается соотношением:

₂ > 0 (2.9)

При этом коэффициенты ₁, ₂ определяются на основе статистических исследований (“черный ящик”) и зависят от общей ситуации в регионе, типа предприятия, характера выпускаемой продукции. Предполагается, что эти коэффициенты являются постоянными. Характеристиками задачи, которые надо найти, являются зависимости N = N(t) и p = p(t). Параметры, от которых зависят эти характеристики, являются , ₁, ₂ и начальные значения p₀, N₀. Строго говоря, соотношения (2.8, 2.9) являются не законами, а обоснованными гипотезами, которые подтверждаются на многих примерах.