С. Изменение зарплаты и занятости

Уравнения в конечных разностях (2.8, 2.9) являются неудобными при формировании (преобразовании ) математической модели. Поэтому, устремляя в этих уравнениях t  0, получим соотношения:

и (3.18)

Перенеся dt в левую часть, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(3.19)

(3.20)

с начальными условиями: p(t=0) = p₀; N(t=0) = N₀. Параметрами задачи являются: .

Систему (3.19-3.20) можно интегрировать численными методами. Однако попробуем преобразовать ее с целью упрощения алгоритма. Продифференцируем по времени уравнение (3.19) с заменой dN/dt:

(3.21)

Сделав в (3.21) замену  = p – p_u, получим:

(3.22)

при начальных условиях: . Уравнение (3.22) легко интегрируется в квадратурах (аналитически) и его общим решением будет:

(3.23)

где

В данном случае преимуществами аналитического решения по сравнению с численным интегрированием являются:

- возможность сразу же оценить свойства искомой характеристики; p = p(t) – периодическая кривая с периодом ;

- алгоритм решения является очень простым, включающим набор последовательных формул.

К сожалению, в реальном математическом моделировании аналитические решения встречаются весьма редко.

Часто при интегрировании ОДУ и уравнений в частных производных в учебниках или методических пособиях решения даются в аналитической форме без вывода (как в примере С). Необходимо уметь проверять эти решения и естественный способ этой проверки – подстановка решения в соответствующие уравнения. Например, для проверки правильности общего решения (3.23) подставим его в уравнение (3.22). Дифференцируя ξ по t, получим:

(3.24)

Отсюда для второй производной имеем:

(3.25)

Подставляя общее решение (3.23) в правую часть (3.22) получим то же самое выражение:

(3.26)

т.е. левая часть и правая часть уравнения (3.22) равны. Это означает, что общее решение (3.23) является верным.

Теперь проверим верность частного решения, т.е. удовлетворения значений начальным условиям. Подставив в (3.23) t = 0 и , получим: , что соответ- ствует 1-му начальному условию, т.е. значение B определено правильно.

Для проверки правильности значения A подставим в (3.24) t = 0 и :

, что соответствует 2-му начальному условию, т.е. значение A определено правильно.

3.2. Формулировка задач оптимизации

Оптимизация характеристик какого-либо объекта, системы – это одна из основных проблем при решении экономических, инженерных, управленческих и производственных задач. Поэтому была создана особая научно-прикладная дисциплина “Методы оптимизации”. Постановка и решение задач оптимизации органично связано с математическим моделированием, являясь его частью. Ранее при изучении математики вы сталкивались с простыми задачами оптимизации.

Пример. Найти максимальный объем параллелепипеда (Фиг.3.2), если а + b +с = const = 18 м при условии b = 2с; a > 0, b > 0, c > 0.

Фигура 3.2 Параллелепипед со сторонами a, b, c

По этой задаче можно отметить следующие свойства:

- надо так сформулировать задачу, чтобы какая-то величина при изменении некоторых параметров стремилась к максимуму (или минимуму);

- в задаче могут быть какие-либо ограничения;

- число искомых величин больше, чем число уравнений.

В этом примере задача оптимизации формулируется следующим образом: Найти значения параметров a, b, c и значения максимального объема при удовлетворении соответствующих ограничений. Легко определить, что требуется найти:

V = a·b·c → max

при ограничениях:

a +b + c – 18 = 0 (равенство)

b – 2c = 0 (равенство)

a > 0, b > 0, c > 0 (неравенство)

Проиллюстрируем известный вам способ решения:

V = a·b·c = a·2c·c= (18 – b – c)·2c² = (18 – 3c)·2c² = 36c² – 6c³ (3.27)

В точке экстремума производная dV/dc = 0. Отсюда получим:

36·2c – 18c² = 0 т.е. 4 – с = 0

что приводит к следующему решению: c = 4, b = 8, a = 6, V_max = 6·8·4 = 192.

В задачах оптимизации существует особая терминология, в частности для нашего примера объем V называется функцией цели, a, b, c - варьируемые параметры. Отметим также, что решение задачи было получено аналитически, но в реальности задачи оптимизации являются довольно сложными и аналитически не решаются. Обычно требуется применение численных методов, что является содержанием дисциплины “Методы оптимизации”. В этой дисциплине существует общая формулировка задач оптимизации:

Z = f(x₁,…, x_i,…,x_n) → max (min) – функция цели. (3.28)

h_j(x₁,…, x_i,…,x_n) = 0 - ограничения типа равенства (3.29)

g_j(x₁,…, x_i,…,x_n) > 0 - ограничения типа неравенства (3.30)

i = 1,…, n; j = 1,…, m_e; (для равенств) ; j = m_e + 1,…, m (для неравенств)

x₁,…, x_i,…,x_n - варьируемые параметры; m – общее число ограничений.

Задачи типа (3.28 – 3.30) являются:

- задачами линейной оптимизации, если Z, h_j и g_j – линейные функции варьируемых параметров;

- задачами нелинейной оптимизации, если хотя бы одно из выражений Z, h_j и g_j является нелинейной функцией варьируемых параметров;

- задачами целочисленной оптимизации, если варьируемые параметры x₁,…, x_i,…,x_n – целые числа.

Таким образом, для решения какой-либо задачи оптимизации необходимо уметь сформулировать эту задачу и решить ее. В нашем курсе лекций мы будем изучать только формулировку задач оптимизации, т.к. методы решения уже хорошо отработаны и встроены в различные программные системы, например, EXCEL и MATLAB. Ниже приводятся примеры формулировки задач оптимизации.

P1. Рационализация питания учащихся. (Тема 2, задача D). Обычно формулировка задач включает 3 шага:

a) выбор варьируемых параметров. В этой задаче (см. Таблицу 2.1) примем на одного ученика в неделю количество (кг): x₁ –мяса, x₂ –крупы, x₃ –масла, x₄ –овощей, x₅ –хлеба.

b) определение целевой функции. Для нашей задачи имеем:

(3.31)

где p_i (руб/кг) - цена 1 кг продукта.

c) формирование ограничений. Для данной задачи имеются следующие ограничения:

- по белкам:

(3.32)

- по жирам:

(3.33)

- по углеводам:

(3.34)

- по витаминам:

(3.35)

- физические ограничения: x₁ >0, x₂ >0, x₃ >0, x₄ >0, x₅ >0.

Эта задача является задачей линейного программирования (линейной оптимизации), имеет 5 параметров, 9 ограничения типа неравенств и надо найти значения Z = Z_min, , где индекс * отмечает значения варьируемых параметров, соответствующих оптимальному значению целевой функции.

P2. Производство радиоприемников. Малое предприятие “Волна” производит радиоприемники типов A, B, C и каждое изделие приносит прибыль: тип A –150 руб., тип B – 300 руб, тип C - 500 руб. Минимальное производство этих аппаратов в неделю составляет 20 шт. –типа A, 80 шт. –типа В и 60 шт. –типа С. Каждая модель требует определенного времени на создание компонентов, на монтаж, на отладку. В частности:

- для производства единицы модели A требуется: 3 часа на создание компонентов, 4 часа на монтаж и 1 час на отладку;

- для производства единицы модели B требуется, соответственно: 3,5 часа, 5 часов и 1,5 часа;

- для производства единицы модели C требуется, соответственно: 5 часов, 8 часов и 3 часа.

В течение следующей недели предприятие располагает числом специалистов, которые обеспечат всего: 1200 часов на создание компонентов, 1600 часов на монтаж и 480 часов на отладку. Каждый специалист может работать по любому типу радиоприемников. Необходимо определить, сколько аппаратов типов A, B, C следует изготовить, чтобы обеспечить максимальную прибыль. Формулировка задачи:

a) Выбор варьируемых параметров. Примем, что такими параметрами являются: x₁ – число аппаратов типа A, x₂ – число аппаратов типа B и x₃ – число аппаратов типа C, производимых за неделю, соответственно.

b) Определение целевой функции. Для нашей задачи имеем:

(3.36)

где Z – общая прибыль за неделю.

c) Формирование ограничений. Для данной задачи имеются следующие ограничения:

- по созданию компонентов:

(3.37)

- по монтажу:

(3.38)

- по наладке:

(3.39)

- по минимальному производству:

(3.40)

Необходимо найти , соответствующие максимальному значению Z_max.

P3. Охрана магазина. В гипермаркете “Шатлык” необходимо обеспечить охрану товаров и здания от недобросовестных покупателей, нарушителей порядка и ЧП. Дирекция определила количество охранников, требующихся в различные периоды суток (Таблица 3.1):

Таблица 3.1 Количество охранников в различные периоды суток

N периода	1	2	3	4	5	6
Период (с … по …часов)	0…4	4…8	8…12	12…16	16…20	20…24
Число охран. (не менее)	8	10	21	28	36	18

Каждый охранник должен дежурить последовательно 2 периода и только один раз в сутки. Определить минимальное число охранников, которое необходимо нанять на работу. Формулировка задачи:

a) Выбор варьируемых параметров. Примем, что такими параметрами являются:

x₁ – число охранников, заступивших на дежурство с 0 часов и далее, соответственно, x₂ – с 4 часов, x₃ – с 8 часов, x₄ – с 12 часов, x₅ – с 16 часов, x₆ – с 20 часов.

b) Определение целевой функции. Каждый охранник, который заступает на дежурство, нанят на работу, поэтому для нашей задачи имеем:

(3.41)

где Z – общее количество, нанятых охранников.

c) Формирование ограничений. Отметим, что x_i (i =1,…,6) являются целыми и неотрицательными, а также, что во втором периоде будут дежурить x₁ охранников, т.к. должны продолжать дежурить еще один период и x₂ охранников, заступивших на дежурство во 2-м периоде. Поэтому для данной задачи имеются следующие ограничения:

(3.42)