26. Непрерывность функции, точки разрыва.

27. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.

28. Правило Лопиталя и его применение к раскрытию неопределенности.

Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль  , бесконечность делить на бесконечность  .

К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность   и бесконечность минус бесконечновть  .

Дифференцирование функции и нахождение производной является неотъемлемой частьюправила Лопиталя, так что рекомендуем обращаться к этому разделу.

Формулировка правила Лопиталя cледующая:

Если  , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки  , то 

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

29. Понятие экстремума, необходимые признаки.

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Найти область определения функции f(x).

2. Найти первую производную функции f '(x).

3. Определить критические точки, для этого:

   1. найти действительные корни уравнения f '(x)=0;

   2. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней – локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).

Определение 2. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума), а значение функции в ней – строгим локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).

Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Пример. Пусть дана функция (рис. 1.1):

Для этой функции имеем: – точка строгого локального минимума;

– точка локального максимума;

– точки экстремума, являющиеся одновременно точками и локального максимума и локального минимума.

Теорема 1. (необходимое условие локального экстремума функции). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. По условию теоремы существует конечная производная . Так как функция имеет в точке локальный экстремум, то она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Значит, производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Тем самым доказано, что . ■

Теорема 1 имеет очень простой геометрический смысл: она утверждает, что если в той точке кривой , в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Ох (рис. 1.2).

Рис. 1.2 Рис. 1.3

Замечание. Пример функции (см. рис. 1.3) показывает, что обращение в нуль производной является лишь необходимым и не является достаточным условием локального экстремума. (Производная функции обращается в нуль в точке , но никакого экстремума в этой точке нет.)