4.Модель логистического роста Ферхюльста.

Объект: замкнутая популяция клеток в среде с ограниченным содержанием питательных веществ.

Задача: найти законы изменения численности популяции во времени.

Основные допущения:

1.Существуют только процессы размножения и естественной гибели, скорости которых пропорциональны численности особей в данный момент времени.

2.не учитываем биохимические, физиологические процессы.

3.рассматриваем только 1 популяцию, нет хищников.

Модель:

N_max не зависит от начальных условий.

Начальные условия определяют путь, по которому пойдет развитие колонии до N_max.

5.Метод фазовой плоскости. Типы особых точек. Модель Вольтерра.

Метод фазовой плоскости:

Модели, состоящие из одного уравнения, описывают монотонные процессы. В природе же наблюдается более сложное поведение биологических систем.

Изменение состояния системы описывается 2 линейными уравнениями:

П усть в начальный момент времени t = t₀ координаты изображающей точки М₀ (x₀, y₀) . В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет двигаться в соответствии с системой уравнений и занимать положение M_t (x_t, y_t).

Совокупность точек M_t на фазовой плоскости, положение которых соответствует изменению состояния системы во времени, называется «фазовой траекторией».

Совокупность фазовых траекторий при разных начальных состояниях системы, дает «фазовый портрет».

Типы устойчивости особых точек

Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о поведении биологической системы без точного решения математических уравнений.

Анализ моделей, описывающих процессы в биологических системах, проводят с помощью компьютерных программ по математическому моделированию.

Исследователь задает модель (систему уравнений) и начальные условия.

Программа находит стационарные состояния (особые точки) системы, анализирует поведение системы вблизи данных состояний и их устойчивость и строит фазовый портрет.

Устойчивый узел неустойчивый узел устойчивый фокус неустойчивый фокус

Колебания невозможны (описывает колебания с (описывает колебания

затухающей амплитудой) с возрастающей амплитудой)

с едло (неустойчивая точка) центр (неустойчивая точка)

(описывает колебания с Характер изменения переменных x и y постоянной амплитудой) во времени при разных типах особых точек

Модель «хищник-жертва» Вольтерра.

Объекты: 2 вида особей – хищник(рыси) и жертва(зайцы).

Основные допущения:

1.Существуют только процессы размножения и естественной гибели, скорости которых пропорциональны численности особей в данный момент времени.

2.Не учитываем биохимические, физиологические процессы.

3.Нет борьбы между особями за место обитания, за пищу (бесконечно большое пространство и количество пищи).

Зайцы питаются растительной пищей, имеющейся всегда в достатке (между ними отсутствует внутривидовая борьба). Рыси могут питаться только зайцами.

Фазовый портрет системы при малых отклонениях

Численности хищников и жертв от стационарных значений

Допустим, произошло отклонение численности зайцев от стационарного значения (1 2). Если число зайцев возросло, то число рысей также увеличивается, но количество зайцев начнет при этом постепенно уменьшатся (точка 3). Это повлечет уменьшение числа рысей(точка4), а следовательно увеличение числа зайцев(точка 1).

Модель «хищник-жертва» используется в настоящее время в медицине. Так при моделировании онкологических заболеваний опухолевые клетки рассматриваются как жертвы, а лимфоциты и, которые могут их подавлять, как хищники. В этом случае моделирование позволяет получить новые знания о процессах межклеточного взаимодействия при этих патологиях, находить пути оптимальной стратегии лечения, создавать новые средства борьбы с ними.