17. Интерполирование и приближение функций. Интерполяционная формула Лагранжа.

Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках этого отрезка. Разумеется, такая задача допускает сколь угодно много решений. Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерения некоторой физической величины в точках , и требуется определить ее значения в других точках. Иногда возникает необходимость приближенной замены или аппроксимации данной функции другими функциями, которые легче вычислить. В частности, рассматривается задача о наилучшем приближении в нормированном пространстве , когда заданную функцию требуется заменить линей­ной комбинацией заданных элементов из так, чтобы отклонение было минимальным. Результаты и методы теории интерполирования и приближения функций нашли широкое применение в численном анализе, например при выводе формул численного дифференцирования и интегрирования, при построении сеточных аналогов задач математической физики.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке заданы точки (узлы интерполирования), в которых известны значения функции . Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы по­строить многочлен

(1)

степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках.

Для любой непрерывной функции сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов получаем систему линейных уравнений

(2)

определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек , нет совпадающих.

Многочлен , удовлетворяющий условиям

(3)

называется интерполяционным многочленом для функции , построенным по узлам

Решение системы (2) можно записать различным образом. Наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.

Интерполяционная формула Лагранжа позволяет представить многочлен в виде линейной комбинации

(4)

значений функции в узлах интерполирования.

Найдем явное выражение для коэффициентов . Из условий интерполирования (3) получаем

Эти соотношения будут выполнены, если на функции нало­жить условия

которые означают, что каждая из функций , имеет не менее нулей на . Поскольку - многочлен степени , коэффициенты естественно искать также в виде многочленов степени , а именно в виде

.

Из условия находим

Таким образом, коэффициенты интерполяционного много­члена (4) находятся по формулам

(5)

Часто коэффициенты записывают в другом виде. Введем многочлен степени :

(6)

и вычислим его производную в точке :

.

Тогда получим, что

Итак, интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

(7)

или, более подробно,

18. Погрешность интерполяции. Оптимальный выбор узлов интерполяции.

Остаточный член интерполяционной формулы.

Заменяя функцию интерполяционным многочленом , мы допускаем по­грешность

,

которая называется погрешностью интерполирования или, что то же самое, остаточным членом интерполяционной формулы. Ясно, что в узлах интерполирования эта погрешность равна нулю. Оценим погрешность в любой точке . Для этого рассмотрим вспомогательную функцию

, (1)

где , — постоянная и

(2)

Пусть требуется оценить в заданной точке , не являющейся узлом интерполирования. Выберем постоянную из условия . Для этого достаточно положить

.

Предположим, что имеет непрерывную производную на отрезке . Функция имеет не менее нулей на этом отрезке, а именно в точках . Поэтому производная имеет не менее чем нулей на , - не менее нулей и т. д., функция по крайней мере один раз обращается в нуль на . Тем самым существует точка , в которой . Поскольку

,

получаем

Таким образом доказано, что погрешность интерполирования можно представить в виде

(3)

где и - многочлен, определенный согласно (2).

Отсюда следует оценка

(4)

где . В частности, если — алгебраический многочлен степени , то интерполирование, проведенное по любым точкам , осуществляется точно, т. е. .

Оптимальный выбор узлов интерполирования.

Величину , входящую в оценку (4), можно минимизировать за счет вы­бора узлов интерполирования. Задача состоит в том, чтобы подо­брать узлы , так, чтобы минимизировать величину

.

Эта задача решается с помощью многочлена Чебышева степени:

причем в качестве узлов интерполирования надо взять корни многочлена (7), т. е. точки

(8)

При этом

и оценка (4) примет вид

(9)