Приклад 2.1.2 (до завдання №3)

(2.11)

Це рівняння не містить явно x. Як і в (2.5) вводимо .

Тоді

,

Одержали рівняння з відокремлюваними змінними.

.

Таким чином і Одержуємо загальний інтеграл:

. (2.12)

2.2 Лінійні рівняння дгругого порядку

Рівняння

(2.13)

називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням (ЛОДР) другого порядку, або рівнянням без правої частини. Рівняння

, (2.14)

при називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням (ЛНДР) другого порядку або рівнянням з правою частиною. Як і для лінійних рівнянь першого порядку загальний розв’язок ЛНДР можна представити у вигляді суми загального розв’язку ЛОДР і частинного розв’язку ЛНДР:

= + . (2.15)

2.2.1 Однорідні рівняння

Нехай функції і є частинні розв’язки ЛОДР (2.13). Тоді їхня лінійна комбінація:

, (2.16)

де і -сталі, при умові, що відношення цих функцій і : залежить від , є загальний розв’язок цього ЛОДР.

2.3 Лінійні рівняння зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду

Вивчимо лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду

, (2.23)

де p, q, a -числа. - многочлен (поліном) степені n. Для деяких n поліноми мають такий загальний вигляд

(2.24)

Відмітимо, що в (2.23) коефіцієнти в поліномі і величина можуть бути як дійсними, так і комплексними. Відмітимо,що права частина в (2.23) при комплексному має також спеціальний вигляд, якщо вона представлена формулою

(2.25)

де і поліноми степеней і з дійсними коефіціентами ( ), відповідно.

A) Загальний розв’язок лодр

Загальний розв’язок ЛОДР, відповідного (2.23)

(2.27)

шукаємо у вигляді , де числа k є розв’язки алгебраїчного характеристичного рівняння

, (2.28)

яке одержують з (6) замінами При відомих розв’язках (7) маємо

де С₁ і С₂ - довільні числа. У випадку комплексних можна використати формулу Ейлера і окрім (2.30) написати

(2.31)

Б) Метод невизначених коефіцієнтів для ЛНДР

Частинний розв’язок ЛНДР (2.23) шукаємо у вигляді

, (2.32)

де - поліном з невідомими коефіцієнтами степені n (як і ) в (2.23)), r-кількість коренів характеристичного рівняння (2.27), які дорівнюють числу в правій частині (2.23).

Відмітимо, що при комплексному можливі випадки коли (тобто в правій частині (2.23) присутні тільки (без ) або тільки (без )), в цих випадках необхідно шукати з двома поліномами однакової степені при

Щоб знайти необхідно визначити коефіцієнти в

. (2.33)

Для визначення цих коефіцієнтів обчислюємо і , які потім підставляємо в ЛНДР (2.23). Після цього прирівнюємо коефіцієнти при однакових виразах (окремо при і для .

В результаті визначаємо поліном а з ним і , а за формулою (2.15) одержуємо

2.3.2 Розв’язання задачі Коші

На основі загального розв’язку задача Коші за методом невизначених коефіцієнтів розв’язується в три етапи. На першому етапі і знайдена похідна обчислюються при . В результаті одержуємо два співвідношення, які розглядаємо як систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих сталих і в (2.29), або А і В в (2.30) для комплексних . і . На другому етапі знаходимо розв'язок цієї системи і , або . і . На третьому етапі та , або та , підставляємо в і одержуємо розв’язок задачі Коші. Далі розглянемо приклади розв’язання задачі Коші для ЛНДР різних рівней складності.