Вторая теорема Вейерштрасса.

Если функция f(x)определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ.

Иными словами, в промежутке [a,b] найдутся такие точки x=x₀ и x=x_1, что значение f(x₀) и f(x₁) будут, соответственно, наибольшим и наименьшим из всех значений функции f(x).

I доказательство. Положим

По предыдущей теореме, это число – конечное. Предположим, что всегда f(x)<M, т.е. что гранича M не достигается. В таком случае, можно рассмотреть вспомогательную функцию

Так как, по предположению, знаменатель здесь в нуль не обращается, то эта функция будет непрерывна, а следовательно (по предыдущей теореме) ограничена: . Но отсюда легко получить, что тогда

т.е. число , меньшее, чем М, оказывается верхней границей для множества значений функции f(x), чего быть не может, ибо M есть точная верхняя граница этого множества. Полученное противоречие доказывает теорему: в промежутке [a,b] найдётся такое значение x_0, что f(x₀)=M будет наибольшим из всех значение f(x).

Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью.

Имеется в виду такое представление, при котором дробная часть (мантисса) положительна, в то время, как целая часть может оказаться как положительной, так и отрицательной или нулём.

Предположим сначала, что рассматриваемое вещественное число не является ни целым числом, ни какой-нибудь конечной десятичной дробью. Станем искать его десятичные приближения. Если оно определяется сечением A|A’, то прежде всего легко убедиться, что в классе A найдётся целое число M, а в классе A’ – целое же число N>M. Прибавляя к M п единице, необходимо придём к таким двум последовательным целым числам , что

.

При этом число может оказаться положительным, отрицательным или нулем.

Далее если разделить промежуток между и на десять равных частей числами

то попадёт в один (и только один) из частичных промежутков, и мы придём к двум числам, разнящимся на для которых .

Продолжая этот процесс дальше, после определения цифр , мы n-ю цифру определим неравенствами

Таким образом, в процессе нахождения десятичных приближений числа мы построили целое число и бесконечный ряд цифр Составленную из них бесконечную десятичную дробь, т. е. символ

можно рассматривать как представление вещественного числа .

Пусть задано какое-либо число a, для определённости . В силу свойства Архимеда существует целое число Среди чисел возьмём наименьшее, обладающее свойством и обозначим его , тогда

Разобьем отрезок на десять равных отрезков, т.е. рассмотрим отрезки , где

Возможны два случая: либо точка не совпадает ни с одной точкой деления, либо точка совпадает с одной точек деления. В первом случае точка принадлежит только одному из этих отрезков. Обозначим его через

где обозначает номер отрезка, т.е. одну из цифр 0,1, …, 9.

Во втором случае точка может принадлежать соседним отрезкам. Тогда через обозначим тот из них, для которого точка является левым концом. Разобьем отрезок в свою очередь на десять равных отрезков и через обозначим тот из получившихся отрезков, который содержит и для которого точка не является правым концом. Продолжая этот процесс, получим систему вложенных отрезков

где = , а – одна из цифр 0, 1, 2,…,9.

Конечные десятичные дроби называются соответственно нижней и верхней подходящей десятичной дробью порядка n для числа . Они обладают следующими свойствами, непосредственно вытекающими из их определения:

,

,

,

В случае, если , то, полагая , определяем , .