Модели координатных плоскостей проекций.

Для того, чтобы получить ортогональный чертеж, обладающий свойством «обратимости», необходимо иметь, по крайней мере, две связанные между собой ортогональные проекции оригинала. Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве и выявления ее формы по ортогональным проекциям является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей.

•  ₁ (или H) – горизонтальная плоскость проекции;

• ₂ (или V) – вертикальная плоскость проекции;

• ₃ (или W) – профильная плоскость проекции.

В России (как и в большинстве стран Европы в отличии от США и некоторых стран латинской Америки) принята правая система расположения проекций.

Координатные плоскости делят пространство на 8 частей – октантов.

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что на плоскостях ₁ и ₃ происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры. Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета пользуются эпюром (комплексным чертежом), т.е. чертежом, составленных из двух или более связанных между собой ортогональных проекций реальной фигуры. Преобразование пространственного макета в комплексный чертеж осуществляется путем совмещения плоскостей ₁ и ₃ с фронтальной плоскостью ₂ проекций.

Д ля совмещения плоскости ₁ с ₂ поворачиваем ее на 90 вокруг оси X по часовой стрелки. Профильную плоскость ₃ поворачиваем вокруг оси Z на 90 против часовой стрелки.

Проекции точки.

Ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. Координатами называют числа, которые ставят в соответствии точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x, y, z. X – абсцисса, y – ордината, z – аппликата. Абсцисса x определяет расстояние от данной точки до плоскости ­₃, ордината y - до плоскости ­₂, аппликата z - до плоскости ­₁.

Какая-либо точка пространства A, заданная координатами, будет обозначаться так: A (x, y, z). Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки O откладывают отрезки, соответственно равные единицам длины. На этих отрезках (OA_X, OA_Y, OA_Z), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку A.

Построение параллелепипеда позволяет определить не только точку A, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плоскости П₁, П₂ и П₃, являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке A.

К аждая из ортогональных проекций точки A, будучи расположенной на плоскости, определяется только двумя координатами. Так, горизонтальная проекция A₁ определяется координатами x и y, фронтальная проекция A₂ - координатами x и z, профильная проекция A₃ - координатами y и z. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами.

На эпюре где все плоскости проекций совмещены, проекции A₁ и A₂ окажутся на одном перпендикуляре к оси OX, а проекции A₂ и A₃ - на одном перпендикуляре к оси OZ.

Y

Что касается проекций A₁ и A₃, то и они связаны прямыми A₁A_y и A₃A_y, перпендикулярными оси OY. Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок A₁A_y не может быть продолжением отрезка A₃A_y.

Построение проекций точки A на эпюре по заданным координатам выполняют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок OA_X = x, а затем через точку A_X проводят перпендикуляр к оси Ox, на котором с учетом знаков откладываем отрезки A_XA₁ = y (получаем A₁) и A_XA₂ = z ((получаем A₂). Остается построить профильную проекцию точки A₃. Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси Oz, то через A₂ проводят прямую A₂A_Z Oz.

Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси Oz должна находиться A₃? Рассматривая координатный параллелепипед, ребра которого A_ZA₃ = OA_Y = A_XA₁ = y, заключаем, что искомое расстояние A_ZA₃ равно y. Отрезок A_ZA₃ откладывают вправо от оси Oz, если y  0, и влево, если y  0.