3.2 Метод определения прогибов и углов поворота

на основе интеграла Мора

Этот способ легче предыдущего с точки зрения вычислительной работы. Однако он не позволяет получить выражение и дает значение прогиба лишь в исследуемом сечении.

Этот метод заключается в следующем:

1. Для определения прогиба в рассматриваемом сечении прикладывается единичная сила Т=1 в том же сечении (для определения угла поворота в рассматриваемом сечении прикладывается единичный момент m=1). При этом внешние нагрузки не учитываются.

2. Строится эпюра изгибающего момента от единичной силы (или от единичного момента, если определяется угол наклона оси).

3. Вычисляются интегралы вида

, (13)

. (14)

Здесь интегрирование по всей длине балки заменено суммой интегралов по длине каждого участка.

Примечание

Положительное значение искомого перемещения получается в том случае, если его направление совпадает с направлением приложенной единичной силы. Знак минус указывает на то, что направление искомого перемещения не совпадает с направлением этой единичной силы. Аналогично и для угла наклона оси балки.

Методика вычисления интегралов

Интегрирование выражений (13) и (14) удобно вести методом Симпсона:

Здесь - значения изгибающих моментов в начале i-го участка;

- значения изгибающих моментов в середине i-го участка;

- значения изгибающих моментов в конце i-го участка.

Примеры решения типовой задачи разными методами

Д ля шарнирно опертой балки (см. рис.6) построим эпюры поперечных сил, изгибающих моментов, прогибов и углов наклона оси. Дано:

=20 кН∙м, =5 кH, l₁=2м, l₂=1м.

Решение

1. Определение опорных реакций.

.

.

2. Проверка правильности определения опорных реакций.

.

Опорные реакции определены правильно.

3. Построение эпюр поперечной силы

и изгибающего момента .

1 участок АВ

2 участок ВG

По известным правилам строим эпюры и (см. рис.7).

4. Построение эпюр прогибов и углов поворота .

Первый способ (метод Клебша (см. п. 3.1))

Используя правила метода Клебша, для каждого участка балки записываем выражение (8) и последовательно его дважды интегрируем. За начало отсчета координаты примем левый конец балки.

1 участок АВ

2 участок BG

Для определения числовых значений и рассмотрим граничные условия (12). Прогибы в опоре А и опоре В равны нулю, тогда

Теперь можно построить эпюры и по их значениям в нескольких точках. Все расчеты можно свести в таблицу 1. Например, в точке G (т.е. при z=l₁ +l₂) имеем:

Таблица 1

, м	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
, кН∙м2	11.67	3.23	-2.08	-4.27	-3.33	-1.46	-0.83
, кН∙м3	0	3.59	3.75	2.03	0	-1.15	-1.67

Второй способ (с применением интеграла Мора (см.п.3.2))

Приведем примеры вычисления и в точках G и S (см. рис.8).

а) Рассмотрим точку G.

К балке, свободной от внешних нагрузок, в сечении G прикладываем единичную силу и единичный момент . Разбиваем балку на два участка и строим эпюры (см. рис.9, рис.10).

Определим прогиб в сечении G:

Определим угол поворота в сечении G:

а) Рассмотрим точку S.

К балке, свободной от внешних нагрузок, в сечении S прикладываем единичную силу и единичный момент . Разбиваем балку на три участка и строим эпюры (см. рис.12, рис.13).

Определим прогиб в сечении S:

Определим угол поворота в сечении S:

Видно, что результаты, полученные разными методами, совпадают.

Аналогично подсчитываются значения и в остальных точках (за исключением прогибов на опорах), заполняется таблица1 и затем строятся эпюры и .