1.3.2.Метод сопряженных градиентов

Рассмотренные выше градиентные методы отыскивают точку минимума функции в общем случае лишь за бесконечное число итераций. Метод сопряженных градиентов формирует направления поиска, в большей мере соответствующие геометрии минимизируемой функции. Это существенно увеличивает скорость их сходимости и позволяет, например, минимизировать квадратичную функцию

f(x) = (х, Нх) + (b, х) + а

с симметрической положительно определенной матрицей Н за конечное число шагов п , равное числу переменных функции. Любая гладкая функция в окрестности точки минимума хорошо аппроксимируется квадратичной, поэтому методы сопряженных градиентов успешно применяют для минимизации и неквадратичных функций. В таком случае они перестают быть конечными и становятся итеративными.

По определению, два n-мерных вектора х и у называют сопряженными по отношению к матрице H (или H-сопряженными), если скалярное произведение (x, Ну) = 0. Здесь Н - симметрическая положительно определенная матрица размером пхп.

Одной из наиболее существенных проблем в методах сопряженных градиентов является проблема эффективного построения направлений. Метод Флетчера-Ривса решает эту проблему путем преобразования на каждом шаге антиградиента -f(x[k]) в направление p[k], H-сопряженное с ранее найденными направлениями р[0], р[1], ..., р[k-1]. Рассмотрим сначала этот метод применительно к задаче минимизации квадратичной функции.

Направления р[k] вычисляют по формулам:

p[k] = -f’(x[k])+k-1p[k-l], k >= 1; p[0] = -f’(x[0]).

Величины k-1 выбираются так, чтобы направления p[k], р[k-1] были H-сопряженными:

(p[k], Hp[k-1])= 0.

В результате для квадратичной функции

,

итерационный процесс минимизации имеет вид

x[k+l] =x[k] +akp[k],

где р[k] - направление спуска на k-м шаге; аk - величина шага. Последняя выбирается из условия минимума функции f(х) по а в направлении движения, т. е. в результате решения задачи одномерной минимизации:

f(х[k] + аkр[k]) = f(x[k] + ар [k]).

Для квадратичной функции

Алгоритм метода сопряженных градиентов Флетчера-Ривса состоит в следующем.

1. В точке х[0] вычисляется p[0] = -f’(x[0]).

2. На k-м шаге по приведенным выше формулам определяются шаг аk. и точка х[k+1].

3. Вычисляются величины f(x[k+1]) и f’(x[k+1]).

4. Если f’(x[k+1]) = 0, то точка х[k+1] является точкой минимума функции f(х). В противном случае определяется новое направление p[k+l] из соотношения

и осуществляется переход к следующей итерации. Эта процедура найдет минимум квадратичной функции не более чем за п шагов. При минимизации неквадратичных функций метод Флетчера-Ривса из конечного становится итеративным. В таком случае после (п+1)-й итерации процедуры 1-4 циклически повторяются с заменой х[0] на х[п+1] , а вычисления заканчиваются при , где - заданное число. При этом применяют следующую модификацию метода:

x[k+l] = x[k] +akp[k],

p[k] = -f’(x[k])+k-1p[k-l], k >= 1;

p[0] = -f’(x[0]);

f(х[k] + akp[k]) = f(x[k] + ap[k];

.

Здесь I- множество индексов: I = {0, n, 2п, Зп, ...}, т. е. обновление метода происходит через каждые п шагов.

Геометрический смысл метода сопряженных градиентов состоит в следующем (Рис. 1.19). Из заданной начальной точки х[0] осуществляется спуск в направлении р[0] = -f'(x[0]). В точке х[1] определяется вектор-градиент f'(x [1]). Поскольку х[1] является точкой минимума функции в направлении р[0], то f’(х[1]) ортогонален вектору р[0]. Затем отыскивается вектор р [1], H-сопряженный к р [0] . Далее отыскивается минимум функции вдоль направления р[1] и т. д.

Рис. 1.19. Траектория спуска в методе сопряженных градиентов

Методы сопряженных направлений являются одними из наиболее эффективных для решения задач минимизации. Однако следует отметить, что они чувствительны к ошибкам, возникающим в процессе счета. При большом числе переменных погрешность может настолько возрасти, что процесс придется повторять даже для квадратичной функции, т. е. процесс для нее не всегда укладывается в п шагов.