№1. Ф-ция нескольких переменных. Пусть D(x,y)-некоторое мн-во точек плоскости xOy. Если каждой упорядоченной паре чисел (x,y) из области D соответствует определенное число zЄE R, то говорят, что z-ф-я двух переменных x и y(независимые переменные).D-обл. опр.; Е-обл. знач.

частное значение ф-ции z=f(x,y) при , . Геометрически обл. опр. ф-ции D представляет собой конечную или бесконечную часть пл-сти, ограниченную линиями, кот. могут принадлежать или нет этой области.

Пусть задано пространство . Если каждой точке XЄ по некоторому закону f поставлено в соответствие единственное вещественное число, то говорят, что задана ф-ция многих переменных

№2.Предел и непрерывность функции многих переменных.

Число А наз-ся пределом функции z=f(x,y) в точке М0(x0,y0),если для любого ε>0 существует δ(ε)>0, такое, что для всех точек М(x,y), стоящих от М0 меньше чем на δ (ρ(М,М0)<δ), выполняется неравенство .Если А-предел функции f(x,y) в точке М0(x0,y0), то пишут А=lim f(x,y)= =lim f(x,y)

x→x0 M→M0

y→y0

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке М0(x0,y0), если выполняется равенство

lim f(x,y)=f(x0,y0), или lim ∆z=0.

x→x0 ∆ρ→0

y→y0

Функция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной области.

Если в точке М(x,y) не выполняется условие непрерывности, то такая точка называется точкой разрыва функции z=f(x,y).Точки разрыва могут образовывать некоторую линию разрыва.

№3. Полное приращение функции z = f (x,y) в точке M₀ (x₀;y₀) – разность

№4. Частные производные функции многих переменных

Опр.1. Пусть в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) ф-ция f(x, y). Фиксируя переменную y (y=y₀), получим ф-цию одной переменной x: f(x, y₀). Обычная производная этой ф-ции в точке x=x₀ называется частной производной ф-ции f(x, y) в точке (x₀, y₀) по x и обозначается дf(x₀, y₀)\дx.

Опр.2. Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной производной.

Теорема. Пусть ф-ция f(x, y) определена вместе со своими частными производными дf / дx, дf / дy, д² f / дxдy и д² f / дyдx в некоторой окрестности точки (x₀, y₀), причём смешанные производные непрерывны в этой точке, тогда они равны, т.е.

д² f\дxдy= д² f\ дyдx.

№5 Дифференцируемость функции многих переменных определение и условия дифференцируемости.

Пусть функция z=f(x,y) определена на некоторой δ-окрестности точки Мо(х0, у0) и пусть точка М(х,у) принадлежит этой окрестности.

Пусть Δх = х-х0, Δу=у-у0, тогда:

ρ=ρ(М,Мо)= <δ,

Δz=f(x0+Δx, y0+Δy) – f(x0,y0).

Обычно Δz называют полным приращением функции.

Функция z=f(x,y) наз-ся дифференцируемой в точке Мо(х0,у0), если сущ числа А и В такие, что Δz= АּΔх + ВּΔу + α (Δх, Δу), где α (Δх, Δу) = ε(Δx, Δy)ρ, ρ 0, α – бесконечно малая.

Достаточное условие дифференцируемости. Пусть функция Z=f(x,y) в некоторой окрестности точки Мо (хо, уо) , имеет частные производные в этой точке , , которые непрерывны в самой точке Мо (хо, уо) , тогда функция Z=f(x,y) дифференциируема в этой точке.

Функция, имеющая в некоторой точке непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференциируемой в этой точке.

Дифференциируемость сложной функции

Пусть функции x(t), g(t) одной переменной t дифференциируемы в точке to и пусть х0=х(to), уо=у(tо). Если функция z=f(x(t)) дифференциируема в точке Мо(хо,уо), то сложная функция z=f(x(t),y(t)) определена в некоторой окрестности точки t0, имеет в этой точке производную и эта производная вычисляется по формуле:

№6. Полный дифференциал ф-ции неск. переменных

Пусть дана функция z=f(x,y): D→R, DєR², M₀єD. Тогда для этой ф-ции справедливо: Δz=∂z/ ∂x(M₀) Δx + ∂z/ ∂y(M₀) Δy+α(Δx, Δy) Δx+ β(Δx, Δy) Δy

Опр. Главная линейная часть приращения ф-ции (относительно Δx, Δy) наз. полным дифференциалом этой ф-ции в т. M₀. Обозначается dz.

dz=∂z/ ∂x│ M₀* Δx+ ∂z/ ∂y│ M₀* Δy, вместо Δx, Δy применяют dx и dy.

Полный дифференциал можно использовать для приближенных вычислений значений функции.

∆z=f(M)-F(M₀)

∆z≈dz

f(x₀+∆x, y₀+∆y) ≈f(x₀, y₀)+ ∂z(x₀, y₀)/ ∂x * Δx +∂z(x₀, y₀)/ ∂y* Δy

№7-8. Экстремумы функций многих переменных

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой δ-окрестности точки М₀(х₀,у₀).Тогда функция z=f(x,y)имеет в точке М₀ максимум(минимум), если для всех точек этой окрестности выполняется неравенство f(x₀,y₀)>f(x,y) (f(x₀,y₀)<f(x,y)).

Теорема. Необходимое условие экстремума.

Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке М₀(х₀,у₀). Тогда если в этой точке существуют конечные частные производные первого порядка, то они равны нулю.

Критические точки (подозрительные на экстремум) – те точки, в к-рых все частные производные первого порядка равны нулю.

Теорема. Достаточные условия экстремума.

Пусть ф-ция z=f(x,y) дифференцируема в точке М₀(х₀,у₀),

∂f(x₀,y₀) ∂f(x₀,y₀)

причем ∂x ⁼0 и ∂y ⁼0, и имеет в ней и в некоторой ее δ-окрестности частные производные второго порядка:

∂²z ∂²z ∂²z

∂x²⁼A, ∂x∂y⁼ B, ∂y²⁼C.

Тогда если определитель второго порядка

│А В│

∆=│В С│=АС-В²>0,

то в точке М₀(х₀,у₀) функция z=f(x,y) имеет экстремум, причем если A<0, - максимум, а если А>0, - минимум. В случае AC-B²=0 требуются дополнительные исследования.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной области в дополнение к заданным точкам экстремума находят ее значения на границе области.

№8 Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируется в точке М0(x0,y0), причем (∂f(x0,y0)/∂x)=0 и (∂f(x0,y0)/∂х)=0,

и имеет в ней и в некоторой ее δ-окрестности частные производные второго порядка:

(∂^2z/∂x^2)=A, (∂^2z/∂x∂y)=B, ∂^2z/∂y^2=C.

Тогда если определитель второго порядка

▲=│A B│

│B C│=AC-B^2>0,

то в точке M0(x0, y0) функция z=f(x,y) имеет экстремум, причем если А< 0, - максимум, а если А> 0, -

минимум. В случае АС-В^2 < 0 функция z = f(x,y) экстремума не имеет. В случае требуются дополнительные исследования.

Пример Найти экстремум функции z=2x^2+y^2-4x+8y-7

Находим:

(∂z/∂x)=4x-4, (∂z/∂y)=2y+8.

Критической точкой является точка с координатами 1, -4.

Вычисляем величины А, В и С.

A=(∂^2z/∂x^2)=4, B=(∂^2z/∂x∂y)=0, C=(∂^2y/∂y^2)=2

Составляем определитель и вычисляем его значение:

∆=│4 0│

│0 2│=δ>0.

Так как ∆>0 и А >0,то (1, -4) – точка минимума и zmin = 2+16-4-32-7=-25

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной

области( как и в случае одной переменной) в дополнение к заданным точкам экстремума находят ее значения на границе области.

Так, если граница области задана уравн. y=φ(x), то находят наименьшее и наибольшее значения функции

z=f(x,φ(x)).Затем из всех найденных функций выбирают наибольшее и наименьшее.

№9. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции в замкнутой области.

Z=f(x;y):D→R, D€R²

D-замкнутая область-область, содержащая все свои предельные точки.

Z=f(x:y), f-дифференцируема в D.

1. Найти стационарные точки.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на граничной области.

3. Сравнить все значения и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение.

10.Производная сложной функции нескольких переменных.

Пусть z=f(x,y) – функция двух переменных. Если зафиксировать один из аргументов, например, взять y=y₀, то получим функцию одной переменной z=f(x,y₀).

Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x_0,y₀) по переменной x называется производная функции z=f(x,y₀) в точке x=x₀. Частная производная обозначается:

Дифференциалом функции z=f(x,y) называется выражение:

№11. Понятие об эмпирических формулах. Подбор параметров по способу наименьших квадратов. Выравнивание по прямой.

Эмпирическая формула-это формула, полученная на основании экспериментальных данных. Она приближённо заменяет табличную так, чтобы её значения мало отличались от экспериментальных данных.

Два этапа построения эмп. формулы:

1.подбор вида этой форм., зависящей от параметров,

2определение по некоторому критерию её параметров.

Попытаемся провести такую прямую, чтобы суммы квадратов отклонений были минимальны

∑V_i→min

Этот же вопрос решим аналитически. Допустим, что значения точно удовлетворяют формуле y=ax+b, т.е. y₁=ax₁+b, …,

y_n=ax_n+b.Вычтем из каждого равенства предыдущее:

y₂-y₁=a(x₂-x₁),…,y_n-y_n-1=a(x_n-x_n-1)

y₂-y₁/ x₂-x₁=а=Δ_1,…,

y_n-y_n-1/ x_n-x_n-1=а=∆_n-1.

∆-первая разделённая разность

Теорема: прямая y=ax+b проходит через точки (х_i,y_i) тогда и только тогда, когда

∆₁=∆₂=…=∆_n-1=a.

Перейдём к нахождению параметров лин. формулы.В рез-те подстановки значений в y=ax+b должны появиться отклонения≠нулю.

ax₁+b- y₁=v₁,…, ax_n+b- y_n=v_n

Найдем значения при кот. сумма квадр min

z(a,b)=(ax₁+b- y₁)²+…+(ax_n+b- y_n)². Найдём наим значение этой функции.

∂z/∂a=2(ax₁+b- y₁) x₁+...+2 (ax_n+b- y_n)

∂z/∂b=2(ax₁+b- y₁)+…+ (ax_n+b- y_n). Приравняем частные производные к 0 и составим сист.

Для решения достаточно, чтобы определитель из коэффициентов неизвестных ≠0.

П окажем, что найденные значения параметров из системы дают минимум функции. Найдём произв 2 порядка.

А =∂²z/∂a²=2

В=∂²z/∂b²=2n

C=∂²z/∂a∂b=2

Выражение АВ-С>0 и А>0, тогда функция имеет ед точку минимума, а это и будет наим значение.

№14. Основные свойства неопределенного интеграла:

1. d( )=f(x)dx;

2. =F(x)+C;

3. = ;

4. =a (a 0);

5. ( )=f(x).

Таблица основных интегралов:

1. (a -1);

2. (x 0);

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

№15.Замена переменной в неопр.интеграле. Инт-е по частям.

1)Пусть функция определена и дифференцируема на множестве , и пусть обозначает множество значений этой функции.Тогда если для функции существует на множестве первообразная функция ,

т.е. , то на множестве для функции существует первообразная, равная , т.е:

2)Если функции и дифференцируемы на множестве ,и кроме того, на этом множестве существует интеграл ,то на нем существует интеграл ,причем: = -

Док-во:

№16.Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби P(x)/Q(x), причём степень числителя P(x) ниже степени знаменателя Q(x). Решается данная задача с помощью метода неопределённых коэффициентов. Если знаменатель правильной рациональной дроби раскладывается на множители:Q(x) = (x-a)^a (x-b)^b (x²+px+q)^y…(x²+kx+r)^z, где корни трёхчленов комплексные, то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей:

P(x)/Q(x) = A₁/ (x-a)+A₂/ (x-a)²+…+A_a /(x-a)^a+B₁/(x-b)+B₂/ (x-b)²+…+B_b/ (x-b)^b+…+(M₁x+N₁)/ (x²+px+q)+ (M₂x+N₂)/ (x²+px+q)²+…+(M_yx+N_y)/ (x²+px+q)^y+…+(C₁x+D₁)/ (x²+kx+r)+(C₂x+D₂)+ …+(С_zx+D_z)/ (x²+kx+q)^z ,

(a, b, …, z принадлежат N). Для вычисления неопределённых коэффициентов A₁, A₂,…, обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве x равным числам, подобранным соответствующим образом. P(x) и Q(x) – многочлены

№18.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

1) Интегр. вида ∫sin ax cos bx dx, ∫cos ax cos bx dx, ∫sin ax sin bx dx, где a ≠b, находятся с пом. формул:

sin ax cos bx = ½ (sin(a-b)x + sin (a+b)x)

cos ax cos bx = ½ (cos(a-b)x + cos(a+b)x)

sin ax sin bx=½ (cos(a-b)x - cos(a+b)x)

2) Интегр. вида I = ∫R(sin x, cos x)dx, где R – рациональная функция, приводящая к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки tg(x/2)=t,

x=2arctg t

dx = 2 dt/(t² +1)

sin x= 2 tg (x/2)/ (1+tg²(x/2)) = 2t/(1+t²)

cos x = (1-tg²(x/2))/ (1+tg²(x/2))= (1-t²)/ (1+t²)

Т.к. I = ∫R(2t / (1+t²), то (1-t²) / (1+t²)) 2dt / (1+t²)

Эта подстановка является универсальной для интегралов этого типа.

3) Интегралы вида I = ∫sin^mx cosⁿx dx, где m и n – целые (не обязательно положительные) числа, если

1) n – целое, нечетное, >0, то заменяем sin x = t;

2) m - целое, нечетное, >0, то заменяем cos x = t;

3) m + n - четное, то заменяем tg x = t.

№20. Интегр. сумма и определение опред. интеграла.

Пусть на отрезке [a;b] определена некот. ф-ция f(x). Зададим разбиение { }отрезка [a;b],

: = , такие, что . Отрезки [ ] наз. частичными отрезками. Число , где , наз. диаметром разбиения. На каждом частичном отрезке выберем произвольные точки . По данному разбиению { } строим сумму ,

к-я наз. интегральной суммой или суммой Римана.

Число А наз. пределом интегральных сумм , если для любого ξ>0 существует такое δ= δ(ξ)>0, что для любого разбиения { }, мелкость к-го d< ξ, и при любом выборе выполняется неравенство

Предел интегральных сумм обозначают

Ф-я f(x) наз. интегрируемой на отрезке [a;b], если для данной ф-ции на указанном отрезке сущ-т предел А ее интегральных сумм σ.

Число А наз. определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается .

№21. Геометрический смысл определенного интеграла.

Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y=f(x) (f(x)≥0), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми x=a и x=b и отрезком оси абсцисс a≤x≤b, опр-ся формулой

Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью OX и двумя прямыми x=a и x=b вокруг оси OX, выражается формулой

Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной дуги, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена стремиться к 0. В этом случае кривая называется спрямляемой.

№22.Св-ва определенных интегралов:

1. ^b_a∫c*f(x)dx=c* _a^b∫f(x)dx.

2. ^b_a ∫(f₁(x)+f₂(x))dx= ^b_a ∫f₁(x)dx+ ^b_a ∫f₂(x)dx.

3. ^b_a∫f(x)dx=- ^a _b∫f(x)dx.

4. ^b_a∫f(x)dx=^c_a∫f(x)dx+ ^b_c∫f(x)dx.

5. ^b_a∫f(x)dx=f(c)*(b-a).

6. f(x)>=0 на [a;b], то ^b_a∫f(x)dx>=0.

7. f₁(x)=<f₂(x) при х€[a;b], ^b_a ∫f₁(x)=< ^b_a ∫f₂(x)dx.

8. m(b-a)=< ^b_a ∫f(x)dx=<M(b-a)

9. - ^b_a ∫│f(x)│=<dx ^b_a ∫f(x)dx=< ^b_a ∫│f(x)│dx.

№23 Терема о интегрируемости непрерывных функций и кусочно-непрерывных функций (без доказательства).

1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

3. Если функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке

4. Если функция f(x) отграничена на отрезке [a,b] и непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме конечного числа точек c_k (k = 1,m) в которых функция имеет разрыв 1 рода, то эта функция интегрируема на отрезке [a,b].

5. Если интегрируемую функцию изменить в конечном числе точек, то получим интегрируемую функцию с тем же интегралом.

№ 24. Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

) = F(x) .

№25. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Если φ:[α,β]→[a,b] − непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t ≤ β в отрезок a≤x≤b, такое, что φ(α)=a и φ(β)=b, то при любой непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) функция f(φ(t))φ'(t) непрерывна на отрезке [a,b] и справедливо равенство

Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то справедлива следующая формула интегрирования по частям: