Вторая теорема двойственности

Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные её оптимального решения.

Следствие. Положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из взаимно двойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи, т.е. для любых и : если > 0, то ; если > 0, то , и аналогично, если > 0, то ; если > 0, то .

Задача. Найти решение двойственной задачи о красках, используя теоремы двойственности.

Задача I (исходная)	Задача II (двойственная)
и условие неотрицательности переменных x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Определить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.	и условие неотрицательности переменных y1 ≥ 0, у2 ≥ 0, у3 ≥ 0, у4 ≥ 0. Найти такой набор цен, при котором общие затраты на ингредиенты будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида краски будут не менее прибыли от реализации.

Решение. Рассмотрим последнюю симплексную таблицу задачи о красках:

	b	х4	х3
х2 х1 х5 х6	4/3 10/3 13/3 2/3	–1/3 –1/6 1 1/6	2/3 –1/3 –1 –2/3
F	38/3	–4/3	–1/3

С помощью теорем двойственности найдём решение задачи II.

Компоненты оптимального решения I
Число единиц продукции			Ингредиенты
x*1 = 10/3 y*5 = 0	x*2 = 4/3 y*6 = 0	x*3 = 0 y*1 = 1/3	x*4 = 0 y*2 = 4/3	x*5 = 13/3 y*3 = 0	x*6 = 2/3 y*4 = 0
Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации			Объективно обусловленные оценки ингредиентов (цены ресурсов)
Компоненты оптимального решения II

В таблице дополнительные переменные исходной задачи I х₃, х₄, х_5, х₆, представляющие разность между запасами ресурсов и их потреблением выражают остатки ресурсов, а дополнительные переменные двойственной задачи II у₅, у₆ выражают превышение затрат над ценой.

Ресурсы S₁ и S₂ по оптимальному плану полностью использованы:

x^*₃ = 0, x^*₄ = 0 и объективно обусловленные оценки этих ресурсов ненулевые, т.е. y^*₁ = 1/3 и y^*₂ = 4/3. Таким образом, обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов. По оптимальному плану производства дефицитные (полностью используемые) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные – нулевые.

По оптимальному плану в исходной задаче следует производить оба вида продукции и превышение затрат на ресурсы над ценой реализации равно нулю.

В оптимальный план производства могут попасть только рентабельные, неубыточные виды продукции. Правда, критерий рентабельности здесь своеобразный: цена продукции не превышает затраты на потребляемые на её изготовление ресурсы, а равна им.