4) Написать уравнение траектории и построить график по двум уравнениям движения тела и начальным величинам. [условие полностью] [решение]

Даны уравнения движения тела:

x = vxt,	y =	yo +	vyt	.
			vx

Запишите уравнение траектории и постройте график, если v_x = 25 см/с, v_y = 1 м/с, y_o = 0,2 м.

Решение (исправлено 25.11.2010):

решая совместно уравнения x = v_xt и y = y_o+v_yt, получим уравнение траектории:

y =	yo +	vyx	.
		vx

Если теперь мы подставим исходные данные, то уравнение траектории примет вид: y = 0.2 + 4x. Сравним уравнение траектории с уравнением вида y = kx + b. Проводя аналогию, делаем вывод, что траектория движения тела представляет собой прямую. Начальное положение точки при t = 0 x_o = 0.2 м, вторую точку возьмем, например, при t = 1 c у = 4.2 м.

5) Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути, если он проехал две половины пути с разной скоростью. [условие] [решение]

Первую половину пути автомобиль проехал со средней скоростью v₁ = 60 км/ч, а вторую — со средней скоростью v₂ = 40 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.

??????????????????????????????????????????????????????????????????

6) Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути, если он ехал две половины времени с разной скоростью. [условие] [решение]

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

7) Определить среднюю скорость автомобиля на первой трети пути по известной средней скорости и скорости на оставшейся части пути. [условие] [решение]

Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью v₁, а оставшуюся часть пути – со скоростью v₂ = 50 км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути V = 37,5 км/ч.

8) Определить скорости катера на первой и второй половинах пути по известной средней скорости и отношению скоростей на участках пути. [условие] [решение]

Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в n = 2 раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составила V = 4 км/ч. Каковы скорости катера на первой и второй половинах пути?

9) Определить скорости катера на речке относительно берега по известной средней скорости и отношению времени на путь в обе стороны. [условие] [решение]

Катер, двигаясь вниз по течению, затратил время в n = 3 раза меньше, чем на обратный путь. Определить, с какими скоростями относительно берега двигался катер, если средняя скорость на всем пути составила V = 3 км/ч.

Решение: двигаясь вниз по течению, катер затратил время в n = 3 раза меньше, т. к. его скорость относительно берега равна сумме его скорости относительно воды (собственная скорость) и скорости течения v₁=v_k+v_T. Путь, проходимый катером, одинаков туда и обратно, обозначим его через S. Время, затраченное им при движении по течению вниз:

t1	=	S	.
		vk + vT

Обратно катер плывет против течения и его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости и скорости течения v₂=v_k−v_T. Тогда затраченное время при движении катера против течения равно:

t2	=	S	.
		vk − vT

По условию задачи время движения катера против течения в три раза больше времени движения катера по течению:

t2	=	S(vk + vT)	=	vk + vT		и	vk + vT	= 3.
t1		S(vk − vT)		vk − vT			vk − vT

Упрощая эти уравнения, находим, что v_k=2v_T (формула 1). Теперь найдем среднюю скорость при движении катера на всем пути:

V =	S	=	2S	=	2S	.
	t		t1 + t2		S/(vk + vT) + S/(vk − vT)

Здесь учтем (1), тогда

V =	2	=	3	VT,
	1/(3vk) + 1/vT		2

отсюда находим скорость течения: v_T = (2/3)V, а v_k = (4/3)V. После вычислений окончательно имеем:v_T = (2/3)3 = 2 км/ч и v_k = (4/3)3 = 4 км/ч.