8. Теплопередача через однослойную и многослойную цилиндрическую стенку при стационарном режиме. Критический диаметр изоляции. Пути интенсификации теплопередачи.

ОТВЕТ:

Стационарная теплопроводность через цилиндрическую стенку

1). Однородная цилиндрическая стенка. Рассмотрим однородный однослойный цилиндр длиной l, внутренним диаметром d1и внешним диаметром d2 (Рис.9.4). Температуры поверхностей стенки –tст1 и tст2. Уравнение теплопроводности по закону Фурье в цилиндрических координатах: Q = - λ∙2∙π∙r ·l· ∂t / ∂r (9.24)илиQ = 2·π·λ·l·Δt/ln(d2/d1), (9.25)где: Δt = tст1 – tст2 – температурный напор; λ – κоэффициент теплопроводности стенки. Для цилиндрических поверхностей вводят понятия тепловой поток единицы длины цилиндрической поверхности (линейная плотность теплового потока), для которой расчетные формулы будут:ql = Q/l =2·π·λ·Δt /ln(d2/d1), [Вт/м]. (9.26)Температура тела внутри стенки с координатойdх:tx = tст1 – (tст1 – tст2) ·ln(dx/d1) / ln(d2/d1). (9.27)2). Многослойная цилиндрическая стенка. Допустим цилиндрическая стенка состоит из трех плотно прилегающих слоев (Рис.9.5).Температура внутренней поверхности стенки –tст1, температуранаружнойповерхности стенки –tст2, коэффициенты теплопроводности слоев -λ1, λ2, λ3, диаметры слоев d1, d2, d3, d4. Тепловые потоки для слоев будут: 1-й слойQ = 2·π· λ1·l·(tст1 – tсл1)/ ln(d2/d1), (9.28) 2-й слой Q = 2·π·λ2·l·(tсл1 – tсл2)/ ln(d3/d2), (9.29) 3-й слой Q = 2·π·λ3·l·(tсл2 – tст2)/ ln(d4/d3), (9.30)Решая полученные уравнения, получаем для теплового потока через многослойную стенку:Q = 2·π·l·(tст1 – tст2) / [ln(d2/d1)/λ1 + ln(d3/d2)/λ2 + ln(d4/d3)/λ3]. (9.31)Для линейной плотности теплового потока имеем:ql = Q/l = 2·π· (t1 – t2) / [ln(d2/d1)/λ1 + ln(d3/d2)/λ2 + ln(d4/d3)/λ3]. (9.32)Температуру между слоями находим из следующих уравнений:

tсл1 = tст1 – ql·ln(d2/d1) / 2·π·λ1 . (9.33) tсл2 = tсл1 – ql·ln(d3/d2) / 2·π·λ2 . (9.34)

9. Теплопроводность при нестационарном режиме неограниченной плоской стенки в граничных условиях третьего рода. Использование метода обобщенных переменных для представления результатов решения. Физический смысл чисел Фурье и Био. Влияние числа Био на температурное поле.

ОТВЕТ:

Для распространения тепла в твёрдом теле характерны П. к.: Фурье число Fo = at/l²ичисло Био Bi = l/.ЧислоBiопределяет характер соответствия между температурными условиями в окружающей среде и распределением температуры в теле.

10. Метод обобщенных переменных. Обобщенные переменные и обобщенное уравнение для теплоотдачи. Физический смысл чисел Rе, Еu, Рr, Gа, Аr, Gr, Ре, Рr, Nu.

ОТВЕТ:

1.      Подобие граничных условий (подобие процессов теплопереноса на границе между стенкой и потоком жидкости) характеризуется критерием Нуссельта:

Nu является мерой соотношения толщины пограничного слоя и определяющего геометрического размера (для трубы – её диаметр d).

2. Условие подобия в ядре потока выражает критерий Фурье(равенство критериев Фурье в сходственных точках тепловых потоков - необходимое условие подобия неустановившихся процессов теплообмена):

3. Критерий Фурье является аналогом критерия гомохронностиHo при гидродинамическом подобии (учитывает неустановившийся характер движения в подобных потоках).

4. Критерий Пеклеявляется мерой соотношения между теплом, переносимым путём конвекции и путём конвекции и путём теплопроводности при конвективном теплообмене:

5. Критерий Рейнольдсаотражает влияние силы трения на движение жидкости (характеризует отношение инерционных сил к силам трения в подобных потоках):

6. Критерий Фрудаотражает влияние силы тяжести, или собственного веса, на движение жидкости (является мерой отношения силы инерции к силе тяжести в подобных потоках):

Необходимыми условиями подобия процессов переноса тепла является соблюдение гидродинамического (характеризуется равенством критериев Ho, Re, Fr в сходственных точках подобных потоков)и геометрического подобия (характеризуется постоянством отношения основных геометрических размеров стенки L1, L2, …Ln к некоторому характерному размеру L0 = d – обычно диаметру трубы).

Таким образом, обобщённое (критериальное) уравнение конвективного теплообмена выражается функцией вида:

или с учётом того, что критерий Нуссельта является определяемым, так как в него входит искомая величина коэффициента теплоотдачи:

7.

где -критерий Прандтля (характеризует подобие физических свойств теплоносителей в процессах конвективного теплообмена) является мерой подобия полей температур и скоростей).

Значения критерия Прандтля для капельных жидкостей порядка 3 – 300 и значительно уменьшаются с возрастанием температуры, а для газов постоянны и зависят от атомности газа (Pr ~ 0.7 – 1). Поэтому для жидкостей тепловой подслой тоньше гидродинамического.

С введением критерия Pr обобщённое уравнение конвективного теплообмена принимает вид

При установившемся процессе теплообмена из обобщённого уравнения исключаются критерии Fo и Ho. При вынужденном движении, когда влияние сил тяжести на гидродинамику потока, отдающего или воспринимающего тепло, пренебрежимо мало, влиянием критерия Fr на теплоотдачу можно пренебречь. Тогда:

вид этой функции определяется опытным путём, причём обычно ей придают степенную форму. Так, например, при движении потока в трубе диаметром d и длиной l может быть представлено в виде:

где С, m, n, p – величины, определяемые из опыта.

8. До сих пор обсуждались задачи с вынужденным движением жидкости. Рассмотрим, например, процесс нагревания воды в кастрюле. В этом случае нельзя исключить из уравнения критерий Фруда, т.к. сила тяжести служит причиной воздействия естественной конвекции. Однако для расчёта критерия Fr необходимо знать скорость движения конвективных токов жидкости, определить которую весьма сложно. Попробуем исключить скорость, комбинируя критерии Fr и Re:

Полученный безразмерный комплекс величин называют производным критерием Галилея:

9. Умножив критерий Ga на безразмерную разность плотностей нагретой и холодной жидкости, являющуюся причиной естественной конвекции, получим критерий Архимеда:

10. Т.к. изменение плотности при нагревании связано с коэффициентом объёмного расширения , можем заменить разность плотностей разностью температур:

подставив это выражение в критерий Архимеда, получим критерий для характеристики теплоотдачи в условиях естественной конвекции – критерий Грасгофа(мера отношения сил трения к подъёмной силе, определяемой разностью плотностей в различных точках неизотермического потока):

Следовательно, для процессов теплоотдачи при естественной конвекции, или свободном движении жидкости, обобщённое уравнение теплоотдачи имеет вид:

Для газов Pr~1=const и, значит, критерий Pr можно исключить из обобщённых уравнений для определения