Особенности нахождения среднего значения вариационного ряда

На вопрос, каким же будет среднее значение (х_ср) разряда рабочих на умозрительном уровне, ответить легко: по второй графе табл. 2 – 4-й разряд, поскольку среднее – это когда сумму всех элементов совокупности (здесь – вариантов ВР) делим на их число. Тогда сумма разрядов составит 2+3+4+5+6 = 20. Среднее как частное от деления суммы на число элементов совокупности 20 / n = 20 / 5 = 4 (р.).ет меру этой неодинаковост

Однако это будет справедливым, если каждый разряд в табл. 2 появился бы равное число раз: или все по одному разу, или все по нескольку раз, но с одинаковой частотой. Но частота проявления каждого разряда в исходной СС в нашем первоначальном восприятии уже была неодинаковой, тогда как содержание табл. 2 показывает количественную меру этой неодинаковости: 2-й разряд проявляется в 5 случаях из 50-ти, третий – 13-ти случаях из 50-ти и т.д. В этом случае, чтобы учесть неодинаковую частоту появления каждого варианта, вычисляют т.н. «взвешенную среднюю» х_ср^в:

∑ х_i ∙ f_i

х_ср^в = ———— . (2)

∑ f_i

Произведя вычисления по формуле (2), получим:

∑ х_i ∙ f_i 2∙ 5 + 3∙ 13 + 4∙ 16 + 5∙ 10 + 6∙ 6 199

х_ср^в = ———— = —————————————— = ——— = 3,98 (р.).

∑ f_i 50 50

Хоть и близко значение 3,98 к 4,00, но все же они разные по своей сути. А вот если бы частота для всех вариантов (разрядов) была бы одинаковой 10; всего вариантов n=5, на каждый вариант по 10, в сумме 50; все сходится). Умножим числитель и знаменатель выражения (2) на единицу и внесем ее как постоянную величину в знак сумм. Тогда одинаковость частот можно так:

f_i = f₁ = f₂ = f₃ = f₄ = f₅ = f_const = f = 10, (3)

а выражение (2) с преобразованиями примет вид (постоянное значение частоты выносим за знак сумм числителя и знаменателя):

∑ 1∙ х_i ∙ f f ∑ 1∙ х_i 1∙ ∑ х_i 1

х_ср^в = ———— = ———— = —— = — ∑ х_i = x_ср. (4)

∑ 1∙f f ∑ 1 N N

То есть сумма единиц в знаменателе от 1 до N и есть (1+1+1+ …… +1) = N единиц. Остальное соответственно в числителе и знаменателе выражения (4) сокращается.

Таким образом при одинаковой частоте появления вариантов среднее взвешенное х_ср^в сводится к простой механической средней x_ср.

Или, другими словами, механическое среднее представляет собой средневзвешенную величину в случае, когда частота появления вариантов ВР одинакова. То есть среднее механическое – это в общем случае частный случай среднего взвешенного.