2.3. Распределение Бозе – Эйнштейна

Функция Бозе – Эйнштейна имеет вид

.

(2.18)

В условиях равновесия бозоны имеют минимум свободной энергии, вследствие чего химический потенциал бозонов

(2.19)

Поскольку для бозонов (фотонов и фононов) энергия

E = h, то с учётом (2.19) получаем функцию распределения Бозе – Эйнштейна в виде

.

(2.20)

Используя выражение (2.10) и значение энергии бозонов (E= h), получаем распределение бозонов по частотам

.

(2.21)

Из графиков функции распределения Бозе – Эйнштейна и распределения частиц по энергиям (рис. 2.3) следует, что с уменьшением температуры число бозонов с малыми значениями энергий уменьшается; уменьшается также и общее число бозонов.

fБ T2 T1 T3 hν	n(ν) T1<T2<T3 T3 T2 T1 hν
Рис. 2.3

2.4. Распределение Ферми – Дирака

Функция распределения Ферми – Дирака определяет среднее число частиц, подчиняющихся принципу Паули, в данном энергетическом состоянии, т.е. она выражает вероятность заполнения данного состояния:

.

(2.22)

Рассмотрим основные свойства функции Ферми – Дирака применительно к электронам в металле. При T = 0 К электроны последовательно занимают все состояния, начиная с наинизшего, соответствующего дну зоны проводимости. Значение функции распределения для всех этих уровней равно единице, при этом последним будет заполнен энергетический уровень, высота которого, отсчитанная от дна зоны проводимости, равна химическому потенциалу E_ф = _ф. Этот энергетический уровень получил название уровня Ферми. С учётом этого функцию распределения Ферми – Дирака можно представить в виде

.

(2.23)

Все энергетические уровни, лежащие выше уровня Ферми, свободны, и для них функция распределения равна нулю (f_ф(E>E_ф)=0). При повышении температуры часть электронов переходит на более высокие энергетические уровни (E>E_ф), в результате чего вероятность заполнения этих уровней увеличивается, а вероятность заполнения энергетических уровней, лежащих ниже уровня Ферми (E<E_ф), уменьшается. Графики функции распределения Ферми – Дирака для различных значений температуры представлены на (рис. 2.4).

Используя выражения (2.10) и (2.23), а также понятие об уровне Ферми, определим концентрацию электронов n(E)dE, имеющих энергию в области от E до E+dE,

.

(2.24)

Важнейшими свойствами уровня Ферми являются:

1. Вероятность заполнения электроном уровня Ферми при любой температуре равна ½.

2. Уровень Ферми представляет собой химический потенциал электронов данной системы (в расчёте на один электрон). Поэтому условием равновесия двух электронных проводников, которые приведены в контакт (безразлично, металлов или полупроводников), является равенство их уровней Ферми.

fф T1= 0 1 T1 0,5 T1 E Eф=μф	n (E) g(E) T1<T2<T3 g(E) T1= 0 T2 T3 E Eф=μф
Рис. 2.4

3. Уровень Ферми определяется из условия, что независимо от распределения по уровням, полное число электронов в кристалле должно оставаться неизменным. Это требование связано с условием электронейтральности системы в целом.

Интегрируя выражение (2.24), получаем общее число частиц в единице объёма системы

,

(2.25)

что приводится к следующему выражению

(2.26)

откуда получаем

(2.27)

где

(2.28)

представляет собой значение уровня Ферми металлов при 0 К.

Значение составляет обычно величину около 5 эВ; поправка в (2.27) во всём температурном интервале не превышает сотых долей процента, поэтому в отличие от полупроводников в металлах уровень Ферми практически не зависит от температуры и определяется выражением (2.28).

Из условия определяем значение Т_ф

,

(2.29)

выше которой выполняется критерий невырожденности электронного газа. Расчёты показывают, что эта температура примерно на два порядка выше температуры плавления металлов, в связи с чем электронный газ в металлах всегда находится в вырожденном состоянии.

Одной из основных характеристик электронной проводимости является закон дисперсии, выражающий зависимость энергии электрона от импульса p, т.е. Е = Е(р). Для свободных электронов

.

При абсолютном нуле температуры энергия электронов в металле ограничивается энергией Ферми, которой соответствует импульс

.

(2.30)

Проведя в пространстве импульсов сферу радиусом p_ф, получим энергетическую поверхность Е_ф , отделяющую заполненные состояния от незаполненных. Такая изоэнергетическая поверхность называется поверхностью Ферми. Характер этой поверхности определяется видом зависимости Е(р), который лишь в частном случае свободных электронов приводит к сферической поверхности Ферми. Для электронов проводимости в кристалле закон дисперсии имеет более сложный вид, и поверхность Ферми не является сферической.

Поверхность Ферми является наиболее важной характеристикой металлов, позволяющей понять и объяснить его основные свойства: электрические, тепловые, магнитные, механические, оптические.

Анализируя различные функции распределения частиц по энергиям (2.11, 2.18, 2.22), получаем, что при условии

(2.31)

функции Бозе–Эйнштейна и Ферми – Дирака переходят в функцию Максвелла – Больцмана, которую можно рассматривать как предельный случай квантовых статистик.

Условие (2.31) эквивалентно условию

,

(2.32)

и оба условия определяют критерий вырождения системы частиц.

С учётом (2.17) условие (2.32) можно записать

.

(2.33)

Так как максимальное значение экспоненциального члена стремиться к 1, то условие (2.33) перепишется в виде

.

(2.34)

Из (2.34) следует, что степень вырождения системы элементов определяется их концентрацией и температурой: чем больше концентрация элементов и чем ниже температура, тем сильнее вырождена система электронов. Из (2.34) получаем соотношение между концентрацией электронов и температурой системы

.

(2.35)

При комнатной температуре правая часть выражения (2.35) составляет величину 2,5 10²⁵ м ^–3, поэтому, если концентрация электронов системы меньше этой величины, система является невырожденной.

В полупроводниковых кристаллах концентрация электронов в зависимости от концентрации примеси изменяется в пределах от 10¹⁶ до 10²⁷м ^–3, вследствие чего система электронов в полупроводнике может быть как вырожденной, так и невырожденной.

В отличие от полупроводников в металлах концентрация свободных электронов практически постоянная и составляет величину порядка 10²⁸м ^–3, т.е. при комнатной температуре система электронов в металле всегда находится в вырожденном состоянии и поведение электронов описывается только квантовой статистикой Ферми – Дирака.