2.3.2.1 Теория подобия.

Подобие в широком смысле – это возможность распространения результатов экспериментов с модели на оригинал. В узком смысле подобие – это тождественность описания полей соответствующих величин модели и оригинала в обобщённых переменных или, по-другому, постоянство отношения сходственных величин модели и оригинала. Далее «подобие» будем понимать в узком смысле.

Подобные объекты описываются одной системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности (геометрическое подобие, временное подобие, подобие физических величин, подобие начальных и граничных условий).

Геометрическое подобие – постоянство отношения всех сходственных линейных размеров модели и оригинала.

, (2.88)

где l и l – сходственные линейные размеры модели и объекта, K – константа геометрического подобия.

Временное подобие (гомохронность) – постоянство отношения сходственных интервалов времени модели и оригинала:

, (2.89)

Если =1, то имеем синхронность.

Подобие физических величин - постоянство отношения физических величин для модели и оригинала в сходственных точках сходственного момента времени:

, , (2.90)

Подобие модели и объекта предполагает подобие полей физических величин:

- гидродинамическое подобие (подобие полей скоростей)

- тепловое подобие (подобие полей температуры)

- концентрац. подобие (подобие полей концентраций)

При соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также подобие полей скоростей, температур, концентраций и других физических величин.

Подобие начальных условий – подобие полей всех физических величин в начальный момент времени.

Подобие граничных условий – постоянство отношения соответствующих величин на границах модели и оригинала.

Константы подобия – отношения одноимённых величин модели и оригинала. Они постоянны для различных сходственных точек подобных систем.

Инварианты подобия – безразмерные отношения величин, характеризующих модель или оригинал.

Симплексы подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин:

(2.91)

Критерии подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения разнородных, сложных величин. Например:

(2.92)

Определяющие критерии подобия составлены из величин, входящих в условия однозначности. Определяемые критерии подобия содержат величины, которые необходимо определить.

Наиболее простой метод получения критериев подобия заключается в следующем: дифференциальное уравнение приводится к безразмерному виду делением всех членов на один из них. Полученные комплексы являются критериями подобия.

Теоремы подобия:

1. Подобные объекты характеризуются численно равными критериями подобия.

2. Решение дифференциального уравнения (уравнений) описывающего объект, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

3. Объекты подобные, если они описываются одной системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и их определяющие критерии равны.

Математическая зависимость между критериями и симплексами подобия, характеризующими данный процесс переноса субстанции, называется критериальным уравнением:

(2.93)

Если определяемый критерий, то имеем:

(2.94)

Обычно критериальные уравнения имеют вид степенной зависимости:

(2.95)

Величины - определяются экспериментально. Если какой – либо из определяющих критериев слабо влияет на определяемый критерий, то его исключают из уравнения.