5.1.2 Материальный баланс.

В стационарных условиях закон сохранения массы для всего аппарата в виде материального баланса может быть представлен:

(5.6)

, – соответственно, расходы жидкой и газовой фаз; х, у – конц. распределяемого комп. в фазах; н – начальное, к – конечное состояние.

Материальный баланс по распределённому компоненту при отсутствии хим. реакций

(5.7)

В случае постоянства расходов G и L уравнение (5.7) упрощается:

(5.8)

Для элементарного участка аппарата:

- dy= dx (5.9)

Знак минус свидетельствует о противоположном изменении концентрации распределяемого компонента в фазах, если в водной фазе увеличивается, то в другой – наоборот.

5.1.3 Уравнения рабочих и равновесных линий.

Из уравнения материального баланса можно получить уравнение рабочей линии.

Уравнение материального баланса для нижней части аппарата до сечения А-А:

(5.10)

поступает расходуется

Находим из (5.10) у:

В случае постоянства расходов и =const:

(5.11)

Полученное уравнение (5.11) представляет собой уравнение прямой линии.

Аналогичным образом может быть получено уравнение рабочей линии для прямоточного аппарата.

(5.12)

поступает расходуется

Находим у: , если расходы не меняются, т.е. и =const, то:

(5.13)

Запишем уравнение равновесной линии, связывающее рабочую концентрацию распределяемого компонента в одной из фаз с его равновесной концентрацией в другой фазе. Под равновесной концентрацией в произвольном сечении аппарата понимают концентрацию компонента в фазе, находящейся в равновесии с другой, состав которой определяется рабочей концентрацией. Уравнение равновесной линии:

у*=mх (5.14)

Здесь у* - равновесная концентрация в фазе I, х – рабочая концентрация в фазе II,

m – коэффициент распределения.

Рабочая концентрация в фазе I превышает равновесную. Поэтому распределяемый компонент будет переходить из I фазы во вторую, до равновесия т.к. .

Скорость массопередачи.

Существует 3 механизма переноса массы:

1. молекулярный (диффузия)

2. конвективный

3. турбулентный (турбулентная диффузия)

Молекулярной диффузией называется перенос вещества, обусловленный беспорядочным движением молекул. Молекулярная диффузия описывается первым законом Фика, согласно которому количество вещества dM, продиффундировавшего за время dτ через элементарную поверхность dF, нормальную к направлению диффузии, пропорционально градиенту концентрации этого вещества:

или

Коэффициент пропорциональности D называется коэффициентом молекулярной диффузии. Знак минус перед правой частью указывает на то, что молекулярная диффузия всегда протекает в направлении уменьшения концентрации распределяемого вещества.

Физический смысл коэффициента диффузии: количество вещества, продиффундировавшего в еденицу времени через единицу поверхности при градиенте концентраций, равном единице. Значение коэффициента диффузии не зависит от гидродинамических условий, и является функцией свойств распределяемого вещества, среды, температуры и давления.

Коэффициенты диффузии газа в среду другого газа имеют значения 0,1 – 1 см²/сек, а при диффузии в жидкости они на 4 или 5 порядков меньше и составляют примерно 1 см²/сут.

Турбулентная диффузия описывается уравнениями, аналогичными молекулярной диффузии:

или

В отличие от коэффициента молекулярной диффузии, коэффициент турбулентной диффузии зависит от гидродинамической обстановки, определяемой скоростью потока и масштабом турбулентности.

Конвективный перенос.

Для конвективного переноса массы можно записать:

или

Дифференциальное уравнения массообмена в движущейся среде.

Выделим в потоке элементарный объем dV с ребрами dx, dy, dz. Рассмотрим материальный баланс по распределяемому компоненту для объема при установившемся массообмене.

Обозначим концентрацию распределяемого вещества в плоскости левой грани параллелепипеда площадью dydz через c и проекции скорости на оси координат для данного элемента потока через , , .

Тогда количество вещества, поступающего только путем конвективного переноса через площадь dydz, т.е. в направлении оси x за время dτ составляет

На противоположной грани параллелепипеда скорость в направлении оси ч равна и концентрация распределяемого вещества . Следовательно, за время dτ через противоположную грань параллелепипеда выходит путем конвективного переноса количество вещества, равное

слагаемым можно пренебречь.

Разность между количествами вещества, прошедшими через противоположные грани, равна

, где .

Аналогично для осей y и z:

, .

Таким образом, содержание распределяемого вещества за время dτ в объеме dV изменится за счет конвективного переноса на величину

или в развернутом виде

или, если расписать поизводные

Согласно уравнению неразрывности потока , и

Рассмотрим теперь перенос вещества за счет молекулярной диффузии. Количество распределяемого вещества, поступающего в объем через грань dydz в направлении оси x за время dτ

.

Количество вещества, выходящего из объема через противоположную грань

Разность между ними равна

Аналогично для осей y и z

, .

Количество распределяемого вещества в объеме dV за время dτ за счет молекулярной диффузии изменится на

В случае стационарного режима в изменение массы должно равняться нулю. Поэтому можем записать

откуда следует, что

Это уравнение называется дифференциальным уравнением конвективного массообмена.

Для неустановившегося движения левая часть уравнения дополняется слагаемым и принимает вид

В случае неподвижной среды , и уравнение записывается следующим образом

Последнее уравнение носит название второго закона Фика.

Модели процессов массопереноса.

Механизм массоотдачи характеризуется сочетанием диффузионных и конвективного механизмов переноса. Еще более сложным является процесс массопередачи, включающий перенос по обе стороны границы раздела фаз. Понятно, что описать такой сложный процесс весьма сложно. Поэтому предложен ряд теоретических моделей, которые упрощают реальное представление переноса массы.

В основу большинства моделей положены 2 допущения:

1. Общее сопротивление переносу из фазы в фазу складывается из сопротивлений двух фаз и сопротивления поверхности раздела фаз. Однако сопротивление на поверхности можно в большинстве случаев принять равным нулю. Тогда общее сопротивление можно рассматривать как сумму фазовых сопротивлений (правило аддитивности).

2. На поверхности раздела фазы находятся в равновесии, причем равновесие на границе фазы устанавливается значительно быстрее изменения средней концентрации в ядре фазы.

Какие модели существуют – на самостоятельное изучение.

Уравнение массоотдачи.

Ввиду сложности механизма процессов массоотдачи принимают, что скорость процесса пропорциональна движущей силе, равной разности концентраций в ядре и на границе фазы (или в случае обратного переноса разности концентраций на границе и в ядре фазы).

Если распределяемое вещество переходит из фазы Y в фазу X, то основное уравнение массоотдачи можно записать:

Для фазы Y

Для фазы X

В этих уравнениях , – коэффициенты массоотдачи, которые показывают, какое количество вещества переходит от поверхности раздела фаз в ядро фазы (или в обратном направлении) через единицу поверхности, за единицу времени из расчета на единицу движущей силы; F – поверхность массоотдачи, y, x – средние концентрации в ядре фаз, , – средние концентрации у границы раздела фаз.

Коэффициент массоотдачи является кинетической характеристикой, зависящей от физических свойств фазы (плотности, вязкости и др.), гидродинамических условий (скорости, режима течения) и т.д.

Как и в процессах теплоотдачи, в процессах массотдачи существует функциональная зависимость для определения коэффициента массоотдачи:

Здесь – диффузионный критерий Нуссельта

– диффузионный критерий Фурье

– диффузионный критерий Прандтля

Уравнение массопередачи.

Физический смысл коэффициента массопередачи: показывает, какое количество массы передается из одной фазы в другую за единицу времени, через единицу межфазной поверхности из расчета на единицу движущей силы.

При движении вдоль межфазной поверхности концентрации в фазах меняются, соответственно меняется и движущая сила. Поэтому вводят понятие средней движущей силы.

Тогда основное уравнение массопередачи можно записать

Связь между коэффициентами массоотдачи и массопередачи.

В случае постоянства коэффициента распределения, среднюю движущую силу можно найти как