5.Базис множества всех векторов в трехмерном пространстве.

Теорема3: 3 произв некомпл вектора обр базис множества векторов 3-х мерного пространства. Док-во: Пусть произвольные неколинеарн вектора. 1) Покажем, что лин независимая система векторов. , , . (от обратного)Пусть - компланарны- противоречие. Т.к. если вектор раскладывается через другие, значит он лежит в их плоскости. -базис множества векторов прямой (АВ), - прямой АС - прямой АD. .

6.Скалярное произведение векторов

. Опр: Скалярным произв явл число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. . Свойства: 1)

2) 3) 4) ; , .

₅₎ док-во:

6) Док-во: Замечание: 1) 2)

8.Ортогональный и ортонормированный базисы. Опр: Базис множества всех векторов назовём ортогональным, если все его векторы попарно ортогональны. -ортогон базис. Опр: Базис множества всех векторов наз-ём ортонормированным, если все его векторы попарно ортогон. и по длине равны 1. ортонормированный базис обозначается:

7.Вычисление скалярного произведения векторов через координаты

. Пусть произвольный базис множества векторов 3х мерного простр.

(α₁β₂+ α₂β₁) + (α₁β₃+ α₃β₁) + (α₂β₃+ α₃β₂) +

Пусть ортонормиров базис.

9.Ориентация. Векторное произведение.

Ориентация на прямой: определяется заданием не 0го вектора, направление данного вектора положительное, противоположное- отрицательное. Ориентация на плоскости: опред заданием упорядоченной пары линейно-независимых векторов. 2 неколлинеарных вектора задают положит. ориентацию если кротчайший угол поворота осущ против часовой стрелки, и отрицат. в обратном случае. Ориентация в пространстве: опред. заданием упорядоченной тройки неколлинеарных векторов. (Правая и левая тройки) -правая 3ка, если кратчайший поворот между виден из конца вектора против часовой стрелки. Опр: Векторным произведением векторов наз. вектор , такой что: 1) Этот вектор перпендикулярен векторам 2) -правая 3ка. 3) Обозначается . Если

_{Свойства векторного} произв: 1) 2) Док-во: направление: а) если

2)

3) Длина:

₁₎ 2) 3) Док-во: (вспомогат) Рассмтр Докажем, что , Рассмотрим: Для доказательства дост: Рассмотрим вектор получается из поворотом на 90 град против часовой стрелки в плоскости так как умножаем 4) или а, в коллинаерны 5) площади паралел-ма построенного на векторах а и в Выражение векторного произведения через координаты векторов в ортонормиров базисе. -базис

. пусть в базисе имеют координаты Теорема: в ортонормированном базисе