1.2. Неустановившиеся и квазистационарные процессы нагрева и охлаждения частей электрических аппаратов

В данном параграфе приведены задачи на вычисление постоянных времени нагрева и охлаждения электрических аппаратов, написание уравнений кривых нагрева, на расчет повторно-кратковременного режима нагрева и наиболее важного режима короткого замыкания (к.з.) с использованием кривых адиабатического нагрева и понятия фиктивного времени к.з. При этом используются следующие расчетные формулы и соотношения.

Зависимость температуры токоведущей части электрического аппарата от времени в процессе нагрева (кривая нагрева)

где ϑ_уст, ϑ_н - установившееся и начальное значения температуры, °С.

где Р₀ - мощность источников теплоты при 0°С, Вт; k_т - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К); F - охлаждающая поверхность, м²; ϑ₀ - температура окружающей среды, °С; α - температурный коэффициент сопротивления, 1/К; T - постоянная времени нагрева, с.

где С - теплоемкость электрического аппарата или его части, Дж/К.

В случае, когда k_тF≫P₀α,

где Р- мощность источников теплоты, Вт, при ϑ= ϑ_уст.

Зависимость температуры электрического аппарата от времени в процессе остывания (кривая охлаждения)

где Θ= ϑ- ϑ₀, Θ_н= ϑ_н- ϑ₀; T - постоянная времени нагрева, определяемая по формуле (1.22).

Время адиабатического нагрева токоведущей части электрического

12

Коэффициент перегрузки по мощности при повторно-кратковременном процессе нагрева

где Р_пк и P_дл - соответственно мощности источников теплоты при повторно-кратковременном и длительном процессах нагрева, Вт; t_р и t_п - соответственно время рабочего периода и паузы, с.

Коэффициент перегрузки по току при повторно-кратковременном процессе нагрева

Относительная продолжительность включения аппарата

Фиктивное время короткого замыкания

где I_∞ - установившееся значение тока к.з., Α; i тока короткого замыкания, Α; *_к - действительное время, к.з., с.

Переходный процесс нагрева полубесконечного, стержня при наличии на его торце источника теплоты описывается выражением действительное значение

где х - координата точки на стержне, м, t - время, с, ϑ_макс - максимальное значение температуры (при x=0), °С, α - температуропроводность материала стержня, м²/с, , - функция, график которой приведен на рис. 1.3.

Количество теплоты, передающееся в стержень за время t,

 

Рис. 1.3. График функции

a - температуропроводность материала стержня, м²/с; x - координата, м; t - время

где S - площадь поперечного сечения стержня, м¹; λ - коэффициент теплопроводности материала стержня, Вт/(м·К), с -удельная теплоемкость материала стержня, Дж/(кг·К), γ - плотность материала стержня, кг/м³.

1.2.1. Написать уравнение кривой нагрева круглого медного проводника диаметром d=10 мм, по которому протекает постоянный

13

ток I=400 А. Известно, что коэффициент теплоотдачи < поверхности проводника k_т = 10 Вт/(м²·К), температура окружающей среды, которой является спокойный воздух, ϑ₀=35°С а значение удельного сопротивления меди за время нарастания температуры ρ=1,75·10^-8 Ом·м.

Решение. Уравнение кривой нагрева в простейшем случае при ϑ_н= ϑ₀ получаем из формулы (1.19)

где Θ_уст = P/(k_тF) - установившееся превышение температуры. Расчет Θ_уст и Т произведем на единице длины проводника l=1 м по формулам (1.23 и (1.22) соответственно, т.е.

Постоянная времени нагрева

где с - удельная теплоемкость меди; γV=m - масса стержня длиной в 1 м; γ - плотность меди; V - объем проводника; F - охлаждающая поверхность

Таким образом, уравнение кривой нагрева Θ=114 (1 - е^-t/850).

Ответ: Θ=114 (1 - е^-t/850).

1.2.2. Написать уравнение кривой охлаждения медного стержня для условий задачи 1.2.1, если известно, что ток был выключен через 40 мин после начала нагрева.

1.2.3. Определить постоянную времени нагрева и построить кривую нагрева стальной шины прямоугольного сечения 90×4 мм, если по ней протекает ток I=500 А, шина расположена в спокойном воздухе, температура которого ϑ₀=35°С, а коэффициент теплоотдачи с поверхности шины k_т=15 Вт/(м²·К). Удельное сопротивление стали принять ρ= 12·10^-8 Ом·м.

1.2.4. Определить постоянную времени нагрева цилиндрической катушки постоянного тока, которая намотана круглым медным проводом диаметром d=2 мм, имеет 500 витков, ее внутренний диаметр D_вн= 70 мм, наружный D_нар=140мм, высота h = 70 мм. Теплоотдача в окружающую среду, которой является спокойный воздух, осуществляется с боковых поверхностей и с торцов, коэффициент теплоотдачи k_т = 20 Вт/(м²·К).

1.2.5. Написать уравнение кривой нагрева медного круглого проводника диаметром d = 40 мм с учетом изменения удельного сопротивления его от температуры, если в момент времени t = 0 он нагружается током I=2250 А. Проводник расположен в спокойном воздухе, температура которого ϑ₀=35°С, а коэффициент теплоотдачи с наружной поверхности k_т=16 Вт/(м²·К).

Решение. Постоянная времени нагрева определится из формулы (1.21). Для длины проводника l=1 м, поскольку С=с·m, где с - удельная теплоемкость материала, m - масса проводника, m=γSl=γS, S - поперечное сечение

14

проводника, γ - плотность, a P₀=I²ρ₀l/S, где ρ₀ - удельное сопротивление материала проводника при 0°С, будем иметь

Установившаяся температура с учетом указанных замечаний определится из формулы (1.20), т.е.

где ρ₀= 1,62·10^-8 Ом·м; α=0,0043 K^-1.

Поскольку ϑ_н= ϑ₀, ϑ_уст=Θ_уст+ ϑ₀, ϑ = Θ+ ϑ₀, из формулы (1.19) уравнение кривой нагрева получаем в виде

Ответ: Θ=43 (1-е^-t/2470).

1.2.6. Составить уравнение кривой нагрева алюминиевой шины прямоугольного поперечного сечения 100×10 мм, если в момент времени t=0 она нагружается постоянным током I=2000 А. В начальный момент времени температура шины ϑ_н=50°С, температура окружающего воздуха ϑ₀=35°С, коэффициент теплоотдачи с наружной поверхности шины k_т=20 Вт/(м²·К). При расчете учесть изменение удельного сопротивления алюминия от температуры.

1.2.7. Вычислить время, через которое медная труба с поперечными размерами d_вн=25 MM, d_нap=30 мм нагреется до температуры ϑ=110°С в результате протекания тока I=9400 А. C целью охлаждения по трубе протекает вода, средняя температура которой ϑ_ср=40°С. Коэффициент теплоотдачи с внутренней поверхности трубы k_т=1500 Вт/(м²·К). Удельное сопротивление меди ρ=1,75·10^-8 Ом·м.

1.2.8. Решить задачу 1.2.7 при условии, что шина охлаждается не водой, а находится в спокойном воздухе, температура которого ϑ₀=40°C, коэффициент теплоотдачи с ее наружной поверхности k_т=15 Вт/(м²·К). Остальные данные без изменения.

1.2.9. Определить время, через которое медная шина с размерами поперечного сечения 100x6 мм нагреется переменным током I=5000 А до температуры ϑ=100°С, если она находится в спокойном воздухе с температурой ϑ₀=35°С, коэффициент теплоотдачи с наружной поверхности шины k_т = 15 Вт/(м²·К), а начальная температура шины ϑ_н=50°С.

1.2.10. Определить допустимое число включений в 1 ч катушки постоянного тока в повторно-кратковременном режиме нагрева, если время рабочего периода катушки t_р=150 с и по ней протекает

15

ток I_пк=12 А. Катушка цилиндрическая, намотана круглым медным проводом диаметром d=2 мм, имеет 500 витков, ее внутренний диаметр D_вн=70 мм, наружный D_нар=140 мм, высота катушки h = 70 мм. Катушка находится в спокойном воздухе, температура которого ϑ₀=35°C. С наружных поверхностей катушки коэффициент теплоотдачи k_т = 20 Вт/(м²·К). Изоляция провода хлопчатобумажная без пропитки.

Решение. Длительно допустимая величина тока определится из равенства

Для хлопчатобумажной изоляции ϑ_доп = 90°С. Подставляя числовые значения и производя вычисления, получим I_дл=8 А. Тогда коэффициенты перегрузки по току k_I=I_пк/I_дл = 12/8 =1,5 и мощности k_P = k_I²=2,25.

Постоянную времени нагрева катушки определим, исходя из предположения, что способностью воспринимать теплоту обладают только ее токопроводящие элементы:

где с, γ - соответственно удельная теплоемкость вычисления получим T=1400 с.

Тогда из равенства и плотность меди. После

найдем время одного цикла t_ц=t_р+t_п=372 с.

Допустимое число включений катушки в час n=3600/t_ц=3600/372 = 9,7 ≈ 9.

Ответ: n=9.

1.2.11. Определить допустимое число включений электромагнита постоянного тока, который имеет цилиндрическую катушку, намотанную круглым медным проводом диаметром d=4 мм. Катушка

Рис. 1.4. Осцилограмма тока при включении электромагнита

имеет 250 витков, ее наружный диаметр D_нар=160 мм, внутренний D_вн=100 мм, высота h=170 мм; питается она выпрямленным током, нарастающим по закону, приведенному на рис. 1.4. Электромагнит включается в момент времени t₁ = 25 мс, а выключается автоматически в момент времени t₂=t₁+75 мс. Длительно допустимая температура нагрева катушки, витки которой

16

имеют хлопчатобумажную изоляцию, ϑ_доп=90°С. Катушка находится в спокойном воздухе, температура которого ϑ₀=35°C, коэффициент теплоотдачи с поверхности катушки k_т = = 10 Вт/(м·К). В теплоотдаче принимают участие наружная боковая поверхность и торцы катушки. Внутренняя поверхность катушки теплоизолирована.

Решение. Определим эквивалентный по теплоте ток:

где t_p=t₂=100 мс - время рабочего периода; i_p - мгновенное значение тока.

Если в пределах от 0 до t’₁=22 мс кривую тока представить в виде i_p1=2t, а от t’₁ до t₂=100 мс в виде t_p2= 44+4 sin ωt, где ω=2πf, то

Длительно допустимое значение тока через катушку определим из равенства

Подставив числовые значения, получим I_дл=22 А. Коэффициент перегрузки по току k_I=I_P/I_дл=39,2/22=1,78. Очевидно, t_p+t_п≪T и, следовательно, справедливо соотношение , откуда

Тогда число допустимых включений в час n= 3600/0,316= 11400.

Ответ: n=11400.

1.2.12. Определить значение коэффициентов перегрузки по мощности и току стальной шины прямоугольного сечения 100×4 мм, нагреваемой прерывистым током I=600 А через установленные промежутки времени. Допустимая температура нагрева шины ϑ_доп=95°С. Шина находится в спокойном воздухе, температура которого ϑ₀=35°С, коэффициент теплоотдачи с поверхности шины k_т=12 Вт/(м²·К), температура шины в результате протекания прерывистого тока достигает ϑ=95°C.

1.2.13. Решить задачу 1.2.11 при условии, что автоматическое устройство выключает катушку в момент времени t’₂ = 40 мс. Все остальные данные без изменения.

1.2.14. Найти конечную температуру медного круглого проводника диаметром d=20,0 мм, который в течение 1,5 с нагружается током I=32000 А, если в начальный момент времени проводник находился в спокойном воздухе при температуре ϑ_н=0°C, а коэффициент теплоотдачи с его поверхности k_т=17 Вт/(м²·К).

Решение. Постоянная времени нагрева проводника длиной в 1 м из формулы (1.22) T=cγS/(k_тF) = 1000 с. Поскольку t/T=1,5·10^-5<0,1, процесс

17

нагрева можно считать адиабатическим и температуру проводника определить по кривой адиабатического нагрева для меди (см. рис. П.8).

Для данного случая

и, следовательно, ϑ_кон=80°C.

Ответ: ϑ_кон=80°C.

1.2.15. Определить температуру алюминиевой шины прямоугольного сечения размером 40×5 мм после протекания по ней тока I = 20000 А в течение времени t=1 с. Начальная температура шины ϑ_н=0°С.

1.2.16. Решить задачу 1.2.14 при условии, что в начальный момент времени проводник был нагрет до температуры ϑ_н=80°0, а все остальные данные оставлены без изменения.

Решение. Для температуры ϑ_н=80°С квадратичный импульс плотности тока (по кривой адиабатического нагрева для меди, см. рис. П.8) [j²t]_н = 1,56·10¹⁶ А²·с/м⁴. Следовательно, конечное значение импульса плотности тока [j²t]_кон=[j²t]_нач[j²t]= 1,56·10¹⁶+1,56·10¹⁶=3,12·10¹⁶ А²·с/м⁴.

По кривой адиабатического нагрева (см. рис. П.8) для [j²t]_кон находим ϑ_кон = 200°C.

Ответ: ϑ_кон = 200°C.

1.2.17. Определить необходимый диаметр поперечного сечения круглой проволоки нихромового элемента сопротивления реостата, если известно, что в момент времени, когда элемент сопротивления нагрет до температуры ϑ=100°С, через него в течение времени t=2 с протекает ток I= 100 А. Допустимая температура нагрева нихрома в кратковременном режиме ϑ_доп=450⁰С.

Решение. Суммарный квадратичный импульс плотности тока для нихрома при ϑ_доп = 450°С (см. рис. П.9) будет [j²t]_кон=1,4·10¹⁵ А²·с/м⁴; при ϑ_нач=100°С имеем [j²t]_нач=0,32·10¹⁵ А²·с/м⁴.

Допустимый квадратичный импульс плотности тока [j²t]_доп=[j²t]_кон-[j²t]_нач=1,4·10¹⁵- 0,32·10¹⁵= 1,08·10¹⁵ А²·с/м⁴.

Необходимый диаметр поперечного сечения

Ответ: d=0,74 мм.

1.2.18. Определить необходимый диаметр константановой проволоки элемента сопротивления пускового реостата, если известно, что при начальной температуре сопротивления ϑ_н=50°С элемент сопротивления в течение одной секунды нагружается током I=50 А. Для константана допустимая температура в кратковременном режиме ϑ_доп=200°C.

1.2.19. Подобрать стандартную алюминиевую шину прямоугольного сечения для распределительного устройства, в котором возможные токи трехфазного к.з. имеют длительность t_к.з=10 с. Шина должна выдерживать токи к.з., установившиеся значения которых I_∞ = 30000 А, а начальные пиковые I _р = 75000 А. Расчет произвести для случая, когда шина в результате протекания

18

номинального тока была нагрета до температуры ϑ_нач=80°С. Охлаждение шины естественное воздушное.

Решение. Определим фиктивное время к.з. по рис. П.10. Поскольку t_к.з>5 с, будем считать, что после 5 с ток к.з. равен установившемуся току. Тогда полное фиктивное время к.з. t_ф = t’_ф+(t_к.з-5), где t'_ф - фиктивное время к.з. при t_к.з = 5 с.

Для данной задачи при β" = I_≈p/I_∞ =2,5 и t’_к.з. = 5 с имеем t’_ф = 6 с. Тогда t_ф=6+ (10-5) = 11 с.

Максимально допустимая температура за время к.з. для алюминия ϑ_доп = 200°С При этой температуре [j²t]_кон=1,35·10¹⁶ А²·с/м⁴. Для ϑ_нач = 80°С имеем [j²t]_нач = 0,75·10¹⁶ А²·с/м⁴. Тогда

Требуемое поперечное сечение шины определим из равенства

Этой площади будут соответствовать две шины с размерами поперечного сечения 80×8 мм.

Ответ: две шины 80×8 мм.

1.2.20. Определить температуру нагрева медной прямоугольной шины с размерами поперечного сечения 80×10 мм в результате протекания по ней в течение 8 с тока к.з. с параметрами I_≈р=90000 А, I_∞ = 40000 А, если известно, что в начальный момент к.з. по Шине протекал номинальный ток и температура шины при этом составляла ϑ_нач=90°С. Шина находится в спокойном воздухе.

1.2.21. Определить ток десятисекундной термической стойкости для стальной шины прямоугольного сечения размером 100×4 мм, находящейся в спокойном воздухе, для случая, когда начальная температура шины ϑ_нач=80°С. Для стальной шины допустимая температура в кратковременном режиме нагрева ϑ_доп=300°С.

19