5. Число ℮ как предел последовательности.
Пусть имеем n-элементное множество. Любое его k-элемнтное подмножество называется сочетанием из n по k.
Бином Ньютона.
Доказательство
℮
{
},
=
=
=
=
=
<
- ограниченная сверху.
По
теореме о сходимости монотонной
последовательности ({
}
– ограниченная и монотонная => {
}
сходится)
℮
℮=2.718281…
℮
-
экспонента; частный случай показательной
функции.
6. Принцип вложенных отрезков.
Всякая система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет единственное число, принадлежащее всем этим отрезкам.
Доказательство.
По условию n→0, т.е. для ε > 0, натуральное n, что bn – an < ε для всех n>N. (Число A называется пределом функции f(x) при x , если для любого положительного числа ε существует положительное число N такое, что для всех значений аргумента x удовлетворяющих условию x>N выполняется неравенство |f(x)-A|< ε).
x
,y
всем
отрезкам, причем x≠y.
x<y,
тогда
an≤
x
≤bn
и
an≤
y
≤bn
(n=
1,2,3, …).
Из
неравенств y
≤bn
и
an≤
x
получаем
y-x≤
bn
– an,
задав ε>0,
N,
что bn
– an
<
ε
для
всех n>N;
y-x< ε. Т.к. ε – любое число, то взяв ε= y-x(ε>0, т.к. x<y, то y-x>0), получим y-x< y-x, что противоречиво. Наличие противоречия доказывает теорему.
8. Теорема Больцано — Вейерштрасса.
из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
пусть {Xn} ограниченная последовательность все её члены можно поместить в [a ]b
[a
][b1
][b2
]b x
Разделим на равные части
Выделим один, содержащий бесконечное число членов последовательности
Выберем
на этом отрезке
ещё
разделим [b1
]b
пополам и выберем тот, где бесконечное
число последовательности выберем
и так до [bn
]b
,
получим систему отрезков {
}.
(
принадлежит всем отрезкам этой системы)
Оказывается
что
(
[
|
]
)
Если
– неограниченно , то сходится либо к
,
либо к
Наибольший
предел
- верхний предел.
Наименьший предел сходящейся последовательности - нижний предел
Пример
(1)
{-1…-1} сходится к -1 = - 1
{0…0} сходится к 0 =0
{1…1} сходится к 1 =1
9. Критерий Коши сходимости последовательностей
Последовательность { xn } называют последовательностью Коши или фундаментальной, если
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4.4.1 ) |
0
N
такой, что для
n,
m
N:
| xn
- xm
|
( здесь центр интервала длиной 2 помещен в точку xm, m N , см. рис 4.4.1 )
Рис. 4.4.1
Теорема
4.4.1
( Критерий Коши ) Для
того, чтобы последовательность
{
xn
}
сходилась,
необходимо и достаточно чтобы она была
фундаментальной.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть xn
a
при n
.
Тогда для любого
0
существует N
,
что для любых n,
m
N
выполняется
|
xn
- a
|
/
2,
|
xm
- a
|
/
2.
Рассмотрим цепочку неравенств
|
xn
- xm
| = | ( xn
- a
) + ( a
- xm
) |
|
xn
- a
| + | xm
- a
|
/ 2 / 2
n≥N m≥N
что означает, что { xn } фундаментальна (| xn - xm | - условие фундаментальности). Достаточность. По теореме Больцано-Вейерштрасса (из всякой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность) из последовательности { xn } можно выделить подпослеловательность, сходящуюся к некоторому числу a. Докажем, что и вся последовательность сходится к числу a. Возьмем любое 0, тогда найдется номер N ( из фундаментальности { xn } ), что для всех n, m N выполняется | xn - xm | . В виду сходимости подпоследовательности (из { xn })
xnk a при k по взятому 0 найдется номер k0, такой, что (номер элемента в подпоследовательности) nk0 N и | xnk0 - a | / 2 . Тогда для любого n N :
| xn - a | = | xn - xm + xm - a | = [ xm = xnk0 ] | xn - xm | + | xnk0 - a | ,
что означает сходимость последовательности { xn } к числу a.
/* Пояснения к последнему абзацу :)
Так
как подпоследовательность xnk
сходится к a,
начиная с некоторого номера N1
все члены xnk
{
-
окрестности точки a},
а так как последовательность xn
-
фундаментальная, то начиная с некоторого
номера N2
все члены xn
отстоят
от членов xnk
меньше, чем на
.
Следовательно, начиная с номера N
= max
(N1,
N2)
все члены последовательности xn
{-
окрестности точки a},
а это и означает, что
=
a,
что и требовалось доказать. */
Замечание: в лекции в пункте «достаточность» Афонин говорил лишь о том, что | xn - a | при n≥N, но вдруг внезапно он попросит это доказать?