Степень вешины

Cтепень вершины- количество ребер графа, исходящих из этой вершины.

На рисунке изображен граф с пятью вершинами. Степень вершины А обозначим Ст.А. На рисунке : Ст.А = 1, Ст.Б = 2, Ст.В = 3, Ст.Г= 2, Ст.Д= 0.

Вершина называется нечетной- если степень этой вершины нечетная,

четной— если степень этой вершины четная.

Сформулируем некоторые закономерности, присущие определенным графам.

Закономерность 1.

Степени вершин полного графа одинаковы, и каждая из них на 1 меньше числа вершин этого графа.

Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным. Таким образом, любой полный граф — однородный.

Закономерность 2.

Сумма степеней вершин графа число четное, равное удвоенному числу ребер графа.

Эта закономерность справедлива не только для полного, но и для любого графа.

Закономерность 3.

Число нечетных вершин любого графа четно.

Закономерность 4 (вытекает из рассмотренной нами закономерности Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин. Закономерность 5. Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

Закономерность 6. Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.

Закономерность 7. Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком». Фигура (граф), которую можно начертить не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной.

Кенигсбергские мосты

К XVIII веку через реку, на которой стоял город Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов, которые связывали с берегами и друг с другом два острова, расположенные в пределах города (см.рисунок)

Задача заключается в следующем: нужно пройти (если это возможно) по всем семи мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь по одному разу и вернуться к тому месту, откуда начал маршрут.

Решить эту задачу удалось в 1736 г. Леонарду Эйлеру . В ходе решения задачи (после интерпретации условия задачи в виде графа, где вершины - острова и берега, а ребра - мосты, представленного на рисунке Л. Эйлер установил, помимо уже рассмотренных нами, закономерности (доказательство этих закономерностей предлагаем вам).

Решение: Прохождение по всем мостам при условии, что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа, представленного на рисунке. Но, поскольку граф на этом рисунке имеет четыре нечетные вершины, то, согласно закономерности 7. такой граф начертить «одним росчерком» невозможно. Значит, и пройти по кенигcбергским мостам, соблюдая заданные условия, нельзя.