6. Обчислення площі поверхні обертання
Н
ехай
маємо поверхню, утворену обертанням
кривої, заданої неперервною на відрізку
функцією
,
навколо осі
.
Перетнемо поверхню площинами,
перпендикулярними до осі
.
Тоді
утворені між перерізами фігури будуть
зрізаними конусами з твірними
і радіусами основ
і
.
Очевидно, що площа всій поверхні обертання
дорівнює сумі всіх площ бічних поверхонь
елементарних конусів.
Побудуємо суму
.
За
формулою Лагранжа
,
де
. Отже, сума
буде інтегральною сумою функції
.
Таким чином, площа
всій поверхні обертання обчислюється
за формулою:
(11)
Якщо крива задана параметрично
,
то
(12)
7. Обчислення роботи
Нехай
під дією сили
рухається вздовж прямої лінії. Якщо
напрям руху збігається з напрямом сили,
то робота
,
виконана з цією силою при переміщенні
точки на відрізок
,
обчислюється за формулою
. (13)