Общие методические указания
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий.
Если в процессе изучения материала или при решении задач у студента возникают трудности, то можно обратиться к. преподавателю кафедры математики для получения устной, или письменной консультации. В случае письменной консультации студент должен точно указать характер затруднения, полное название учебника или задачника, год издания и страницу, где находится непонятный для студента вопрос или задача.
При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:
1. Каждая работа должна выполняться в отдельной тет-ради (в клетку), на внешней обложке которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, номер контрольной работы, дата ее отсылки в институт, домашний адрес студента.
2. Контрольные задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.
3. Решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул, теорем.
4. Решение, задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами (желательно на миллиметровой бумаге), выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к задачам должны соответствовать обозначениям, приведенным на чертежах.
5. На каждой странице тетради, необходимо оставлять поля шириной 3 — 4см для замечаний преподавателя.
6. Контрольные работы должны, выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа лишает студента возможности проверить степень своей подготовленности по теме. Если преподаватель установит несамостоятельное выполнение работы, то она не будет зачтена.
Изучите теорию по указанным разделам, разберите решения задач, приведенных в данных методических указаниях и приступайте к выполнению контрольных работ. Желаем удачи!
Тема 1 Введение в анализ
Разберите решение задач 1, 2 данного пособия.
Задача 1. Вычислить пределы:
a)
,
б)
в).
г)
Решение.
a) Подстановка предельного значения
аргумента х= -3 приводит к
неопределенному
выражению вида
.
Для устранения этой неопределенности
разложим числитель и знаменатель дроби
на множители и сократим дробь на множитель
(х+3). Такое сокращение здесь возможно,
так как множитель (х+3) отличен от нуля
при
:
б).
При
выражение
дает неопределенность вида
.
Для ее устранения умножим и разделим
это выражение на
=
=
=
;
в).
Обозначим arctg5x=y.
Тогда 5x=tg
y
и
при
.
Применяя свойства пределов и формулу
первого замечательного предела
имеем:
г).
При
выражается
является
неопределенностью вида
.
Для устранения этой неопределенности
представим основание степени в виде
суммы 1 и бесконечно малой при
величины и применим формулу второго
замечательного предела:
тогда
имеем:
Пусть
2x+1=-4y. Тогда 4x+5=-8y+3 и
при
.
Переходя к переменной y, получим:
Задача
2. Исследовать на непрерывность функцию
.
Решение.
Данная функция является элементарной.
Известно, что всякая элемен-тарная
функция непрерывна на своей области
определения. Данная функция определена
на интервалах ( -
; 1) и (1;
)
и, следовательно, она непрерывна на этих
интервалах. В точке х=1 функция имеет
разрыв второго рода, поскольку в этой
точке отсутствуют конечные односторонние
пределы. График функции дан на рис. 1.
Рис. 1
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение понятия функции.
2. Что называется областью определения функции? Областью изменения функции?
3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.
4. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
5. Что называется пределом числовой последовательности?
6. Сформулируйте определение предела функции.
7. Назовите основные свойства пределов функций.
8. Какая функция называется бесконечно малой? Бесконечно большой?
9. Назовите свойства бесконечно малых функций.
10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.
11. Какие логарифмы называются натуральными?
12. Дайте определение односторонних пределов функции в точке.
13. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?
14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? Второго рода?
15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.