14. Фундаментальная система решений однородной слау ( фср ). Теорема о существовании фср.

Определение. Пусть , ( - число неизвестных). Система из линейно-независимых решений системы (1) называется фундаментальной системой решений однородной системы (1) (ФСР).

Теорема. Пусть . Тогда существует ФСР .

Доказательство:

.

Не уменьшая общности решим, что базисный минор порядка расположен в верхнем левом углу матрицы . Если это не так, переставим уравнения или перенумеруем неизвестные.

Фиксируем произвольный определитель порядка , не равный нулю.

Например:

Берем

строк

строк

строк

строк

- базисные переменные.

- свободные переменные.

Отбросим небазисные уравнения они являются следствиями базисных. (см теорему о базисном миноре).

Ищем первые компонентов столбца Как решение системы, где вместо свободных берутся , решим систему

, где вместо свободных переменных подставляются числа . Матрица системы 

не вырождена так как ее определитель совпадает с базисным минором . Можно например использовать правило Крамера. Построена система из решений системы (1) .

Ранг вспомогательной матрицы равен все столбцы являются базисными и составляют линейно-независимую систему являются ФСР

15. Теорема (об общем решении однородной системы уравнений слау).

Пусть . Тогда общее решение однородной СЛАУ (1) :

где - ФСР, - постоянные произвольные, пробегающие действительную ось, независимо друг от друга.

Доказательство:

Необходимо доказать:

1). Правая часть действительно является решением системы (1).

2). Любое решение системы (1) может быть записано в виде

при некоторых значениях .

Справедливость 1) утверждения следует из теоремы. - решения (1). - тоже решения (1).

Докажем справедливость 2-го утверждения.

Пусть - произвольное решение (1).

, причем - столбец высоты .

, где , где

Составим систему , столбцов высоты .

16. Алгоритм решения однородных слау

Рассмотрим однородную систему AX = .

(1) Вычисляем Rang A=r. Если n=r ( то есть число неизвестных совпадает с рангом матрицы A ), то система имеет только нулевое решение. Если же n r>0, то переходим к пункту (2).

(2) Фиксируем произвольный определитель порядка n r, не равный 0:

Обычно берут определитель единичной матрицы

.

Ищем в виде

где столбцы определителя D.

Первые r элементов столбцов ищем как решения системы ( ).

(3) Окончательно

где произвольные постоянные.

Пример. Найдем общее решение системы

1. Вычислим ранг матрицы системы:

n r=3 2=1>0.

2. ФСР состоит из одного столбца

.

Третье уравнение отбросим как небазисное. Подставим в систему :

.

Ответ.