2.3. Метод золотого сечения

Отличие метода золотого сечения от метода деления отрезка пополам заключается в специальном разбиении отрезка локализации относительно его центра точками.

Термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи. Принципы, заложенные в основу этого сечения, широко использовались при композиционном построении многих произведений искусства античности и эпохи Возрождения: особенно в живописи и архитектуре.

Определение 2.1. Золотым сечением отрезка называется такое разбиение отрезка на две неравные части точками и , что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части: . При этом (рис.2.5) точки и располагаются симметрично относительно центра отрезка и могут быть определены с помощью следующих соотношений:

.

Замечательно также, что точки и осуществляют золотое сечение не только всего отрезка , но и соответственно подотрезков и .

   

Рис.2.5. Выбор точек разбиения отрезка в методе золотого сечения

Итерационный процесс локализации минимума функции на заданном числовом отрезке в данном методе ведется аналогично локализации минимума функции в методе деления отрезка пополам. В отличие от него точки и на очередном шаге итерации находятся по формулам:

.

Свойства золотого сечения позволяют также несколько упростить процедуру поиска точки локализации на очередном шаге вычислений. Действительно, какой бы из отрезков или не был бы выбран за очередной отрезок локализации, точка ( , если и , если ) совпадет с одной из точек или (рис 2.6). Поэтому на очередном шаге достаточно вычислить значение функции лишь в одной недостающей точке.

Рис.2.6. Графическая интерпретация метода золотого сечения

2.3.1. Пример поиска локального минимума методом золотого сечения

Применяя метод золотого сечения, определить с точностью точку локального минимума функции на отрезке локализации .

Так как данный метод отличается от метода деления отрезка пополам только способом выбора точек сужения отрезка локализации, то и алгоритм поиска решения, и программу реализации данного метода легко получить, сделав незначительные изменения в схеме 2.1 и программе, рассмотренных в п. 2.2. Для этого: в блоке 2 (сх.2.2) достаточно не вычислять величину ; вместо вычислений и установить соответственно ; добавить вычисление величины .

Тогда, установив имеем:

Первая итерация:

1. вычислим , , и определим значения ;

2. сравним и . Так как , то установим в качестве нового отрезка локализации отрезок ;

3. и так как условия и не выполняются , то произведем очередную итерацию.

Итерационный процесс будем продолжать до тех пор, пока для установленного вновь отрезка локализации данные условия не будут выполнены. Результаты итераций сведем в таблицу 2.2.

Таблица 2.2

№ шага k
0	-4.000000	-3.000000	-3.600000	-3.400000	-6.457766	-5.939899	1.000000
1	-4.000000	-3.400000	-3.760000	-3.640000	-6.448950	-6.496707	0.600000
2	-3.760000	-3.400000	-3.616000	-3.544000	-6.476333	-6.363350	0.360000
3	-3.760000	-3.544000	-3.673600	-3.630400	-6.509402	-6.489656	0.216000
4	-3.760000	-3.630400	-3.708160	-3.682240	-6.502006	-6.509551	0.129600
5	-3.708160	-3.630400	-3.677056	-3.661504	-6.509618	-6.507023	0.077760
6	-3.708160	-3.661504	-3.689497	-3.680166	-6.508658	-6.509634	0.046656
7	-3.689497	-3.661504	-3.678300	-3.672701	-6.509645	-6.509312	0.027994
8	-3.689497	-3.672701	-3.682779	-3.679420	-6.509517	-6.509646	0.016796
9	-3.682779	-3.672701	-3.678748	-3.676732	-6.509648	-6.509607	0.010078
10	-3.682779	-3.676732	-3.680360	-3.679151	-6.509630	-6.509648	0.006047
11	-3.680360	-3.676732	-3.678909	-3.678183	-6.509648	-6.509644	0.003628
12	-3.680360	-3.678183	-3.679489	-3.679054	-6.509645	-6.509648	0.002177
13	-3.679489	-3.678183	-3.678967	-3.678706	-6.509648	-6.509648	0.001306
14	-3.679489	-3.678706	-3.679176	-3.679019	-6.509648	-6.509648	0.000784

Из таблицы видно, что искомый результат на 14-ом шаге вычислений. При этом: .