2.4 Доведення Леонардо да Вінчі
Головні елементи докази - симетрія і рух. Розглянемо креслення, як видно із симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (так як трикутники ABC і JHI рівні з побудови).
Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки навколо точки A, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і DABG.
Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ маленьких квадратів (побудованих на катетах) і площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі великого квадрата (побудованого на гіпотенузі) плюс площа вихідного трикутника. Таким чином, половина суми площ маленьких квадратів дорівнює половині площі великого квадрата, а отже сума площ квадратів, побудованих на катетах дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.
2.5 Доведення Хоукінса
Наведемо ще один доказ, що має обчислювальний характер, проте сильно відрізняється від всіх попередніх. Воно опубліковано англійцем Хоукінсом у 1909 році; чи було воно відоме до цього-важко сказати.
Прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C повернемо на 90 ° так, щоб він зайняв положення A'CB '. Продовжимо гіпотенузу A'В 'за точку A' до перетину з лінією АВ в точці D. Відрізок В'D буде висотою трикутника В'АВ. Розглянемо тепер заштрихований чотирикутник A'АВ'В. Його можна розкласти на два рівнобедрених трикутника САA 'і СВВ' (або на два трикутника A'В'А і A'В'В).
SCAA '= b І / 2
SCBB '= a І / 2
SA'AB'B = (a І b І) / 2
Трикутники A'В'А і A'В'В мають загальну підставу с і висоти DA і DB, тому:
SA'AB'B = c * DA / 2 c * DB / 2 = c (DA DB) / 2 = c І / 2
Порівнюючи два отримані вирази для площі, отримаємо:a І+ b І = c І .
Теорема доведена.
Доведення Вальдхейма:
Це доказ також має обчислювальний характер. Можна використовувати малюнки для доказу заснованого на обчисленні площ двома способами.
Для того щоб довести теорему користуючись перший малюнком достатньо тільки висловити площа трапеції двома шляхами.
S трапеціі = (ab) І / 2 S трапеціі = a І b І c І / 2
Урівняв праві частини отримаємо: a І b І = c І
Теорема доведена.
2.6 Доведення методом розкладання
Існує цілий ряд доказів теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на катетах і на гіпотенузі, розрізаються так, що кожної частини квадрата, побудованого на гіпотенузі, відповідає частина одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння докази достатньо одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежене єдиним словом: "Дивись!", Як це робилося у творах древніх індуських математиків. Слід, однак, зауважити, що насправді доказ не можна вважати повним, поки ми не довели рівності всіх відповідних один одному частин. Це майже завжди досить важко зробити, однак може (особливо при великій кількості частин) вимагати досить тривалої роботи.
2.7 Доведення Енштейна
Почнемо з доказу Енштейна (рис. 1); його перевагою є те, що тут у якості складових частин розкладання фігурують виключно трикутники. Щоб розібратися в кресленні, зауважимо, що пряма CD проведена перпендикулярно прямий EF.
Розкладання на трикутники можна зробити і більш наочним, ніж на малюнку.
піфагор теорема трикутник гіпотенуза
2.8 Доведення Нільсена
На малюнку допоміжні лінії змінені за пропозицією Нільсена.
2.9 Доведення Бетхера
На малюнку дано вельми наочне розкладання Бетхера.
2.10 Доведення Перігаля
У підручниках нерідко зустрічається розкладання вказане на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; це доказ знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на великий катет, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно з креслення.
2.11 Доведення Гутхейля
Зображене на малюнку розкладання належить Гутхейлю; для нього характерно наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить за собою випадок рівнобедреного прямокутного трикутника.
2.12 Доведення 9 століття н.е.
Раніше були представлені тільки такі докази, в яких квадрат, побудований на гіпотенузі, з одного боку, і квадрати, побудовані на катетах, з іншого, складалися з рівних частин. Такі докази називаються доказами за допомогою додавання ("адитивними доказами") або, частіше, доказами методом розкладання. До цих пір ми виходили з звичайного розташування квадратів, побудованих на відповідних сторонах трикутника, тобто поза трикутника. Однак у багатьох випадках більш вигідно інше розташування квадратів.
На малюнку квадрати, побудовані на катетах, розміщені ступенями один поряд з іншим. Цю фігуру, яка зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е.., індуси називали "стільцем нареченої". Спосіб побудови квадрата зі стороною, рівною гіпотенузі, ясний з креслення. Загальна частина двох квадратів, побудованих на катетах, і квадрата, побудованого на гіпотенузі, - неправильний заштрихований п'ятикутник 5. Приєднавши до нього трикутники 1 і 2, отримаємо обидва квадрата, побудовані на катетах; якщо ж замінити трикутники 1 і 2 рівними їм трикутниками 3 та 4, то отримаємо квадрат, побудований на гіпотенузі. На малюнках нижче зображено два різних розташування близьких до того, який дається на першому малюнку.