Моделирование дискретных распределений

Моделирование конкретного распределения можно производить различными способами. Если распределение дискретно, то можно использовать, например, следующий прием.

Пусть - разбиение отрезка , тогда последовательность

является последовательностью независимых дискретных случайных величин, принимающих значения с вероятностями .

Например, для моделирования распределения достаточно разбить отрезок на две части длиной и , соответственно. Для моделирования распределения применять предложенный метод нерационально, так как придется вычислять вероятности вида

.

Гораздо проще для моделирования сложить смоделированных величин . Заметим, что для моделирования одной величины в этом случае потребуется членов последовательности

Моделирование непрерывных распределений

Моделирование конкретного распределения можно производить различными способами. Если распределение непрерывно, то можно использовать, например, следующий прием.

Пусть - непрерывная функция распределения, тогда последовательность

является последовательностью независимых случайных величин, принимающих значения с функцией распределения .

Для доказательства достаточно вычислить функцию распределения случайной величины .

Например, для моделирования распределения достаточно положить

Для моделирования распределения применять предложенный метод нерационально, так как придется вычислять обратную функцию к функции вида .

Гораздо проще для моделирования сложить смоделированных величин . Заметим, что для моделирования одной величины в этом случае потребуется членов последовательности

Моделирование нормального распределения.

Для моделирования стандартного нормального распределения можно использовать следующее утверждение.

Утверждение.

Случайные величины

независимы и стандартно нормально распределены.

Доказательство этого утверждения представляет собой упражнение из математического анализа на замену переменных в двумерном интеграле (переход к полярным координатам).

Теория оценивания

В данном и следующих разделах по умолчанию предполагается существование необходимого числа моментов у случайных величин.

Если в утверждениях появляется параметр , то это означает, что рассматривается выборка размера .

Определение оценки и критерии качества оценок

Определение.

Статистика называется оценкой параметра , если она принимает свои значения в параметрическом множестве .

Разумными требованиями к оценкам являются

1. Несмещенность

2. Состоятельность

3. Минимальность дисперсии

Общие методы построения оценок

Идеальная или оптимальная оценка должна удовлетворять всем требованиям 1)-3). Однако нет гарантии, что такая оценка существует. Поэтому интересными являются также методы, позволяющие строить оценки, удовлетворяющие, например, требованию 2) или требованиям 2) и 1)

Метод подстановки и метод моментов

Метод подстановки заключается в использовании идеи подстановки и применяется в случае, когда данные представляют собой выборку. Пусть существуют такие измеримые функции и , что

тогда оценкой по методу постановки называется величина

Теорема.

Если функция линейна, то оценка по методу подстановки несмещена и состоятельна, если непрерывна, то состоятельна.

Доказательство.

Первая часть теоремы следует из свойств математического ожидания и закона больших чисел, вторая из свойства сходимости по вероятности (теорема (f(P))).

Доказательство завершено.

Метод моментов.

Суть метода моментов заключается в следующем. Очевидно, выборочные среднее и дисперсия являются несмещенными оценками своих математических ожиданий, являющихся в параметрическом случае некоторыми функциями от параметра.

Если функции и непрерывны и монотонны, то существуют обратные к ним функции и, применяя метод подстановки, получим оценки

Очевидно, что подобным образом можно использовать другие выборочные характеристики.