- •§ 5. Лекция. Том. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний, законы этих операций (с доказательством). Отрицание элементарных и составных высказываний. Законы де Моргана.
- •Законы конъюнкции
- •1. Ассоциативный закон конъюнкции:
- •II. Дизъюнкция высказываний
- •Законы дизъюнкции
- •1. Коммутативный закон дизъюнкции: α V β ≡ β V α
- •1. Ассоциативный закон дизъюнкции:
- •III. Отрицание высказываний
Законы дизъюнкции
1. Коммутативный закон дизъюнкции: α V β ≡ β V α
док-во
-
α
β
α V β
β V α
и
и
и
и
и
л
и
и
л
и
и
и
л
л
л
л
Значения истинности в 3-й и 4-ой колонках совпали, значит закон выполняется.
1. Ассоциативный закон дизъюнкции:
(α V β) V ≡ α V (β V )
док-во
α |
β |
|
α V β |
(α V β) V |
β V |
α V (β V ) |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
Конъюнкция и дизъюнкция высказываний связаны дистрибутивными законами.
Дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции: для любых трех высказываний α, β и верно
(α V β) /\ ≡ ( α /\ ) V(β /\ )
Доказать закон можно с помощью таблицы истинности
α |
β |
|
α V β |
(α V β) /\ |
α /\ |
β /\ |
( α /\ ) V(β /\ ) |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
Значения истинности в 5-й и 8-ой колонках совпали, значит закон выполняется.
Дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции: для любых трех высказываний α, β и верно
(α /\ β) V ≡ ( α V ) /\ (β V )
Доказать закон можно с помощью таблицы истинности
α |
β |
|
α /\ β |
(α /\ β) V |
α V |
β V |
( α V ) /\ (β V ) |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
Значения истинности в 5-й и 8-ой колонках совпали, значит закон выполняется.