Вопрос №14. Законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной формах.
Закон Ома в инт. форме:
Для
любой точки внутри проводника
напряженность 
результирующего
поля равна сумме напряженности поля
кулоновских сил и поля сторонних сил 
.
Подставляя в (17.6), получим
Умножим
скалярно обе части на вектор 
,
численно равный элементу 
длины
проводника и направленный по касательной
к проводнику в ту же сторону, что и
вектор плотности тока 
Так
как скалярное произведение совпадающих
по направлению векторов
и
,
равно произведению их модулей, то это
равенство можно переписать в виде
С
учетом 
Интегрируя
по длине проводника 
от
сечения 1 до некоторого сечения 2 и
учитывая, что сила тока во всех сечениях
проводника одинакова, получаем
|
(17.7) |
Интеграл 
численно
равен работе, совершаемой кулоновскими
силами при перенесении единичного
положительного заряда с точки 1 в точку
2. В электростатике было показано, что
Таким
образом,
где 
и 
-
значение потенциала в т.1 и т.2.
Интеграл,
содержащий вектор 
напряженности
поля, сторонних сил, представляет собой
эдс 
,
действующей на участке 1-2
|
(17.9) |
Интеграл
|
(17.10) |
равен сопротивлению участка цепи 1-2.
Подставляя (17.10), (17.9) и (17.8) в (17.7), окончательно получим
|
(17.11) |
Последнее уравнение выражает собой закон Ома в интегральной форме для участка цепи, содержащего эдс и формулируется следующим образом: падение напряжения на участке цепи равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и эдс всех источников электрической энергии, включённых на участке.
При
замкнутой внешней цепи сумма падений
электрических потенциалов и эдс
источника равна сумме падений напряжения
на внутреннем сопротивлении источника
и во всей внешней цепи
где 
или 
Отсюда
|
(17.12) |
Закон Ома в диф. форме:
Сечение проводника или элементов цепи, как правило, неоднородно, и сопротивляемость в разных участках цепи протеканию тока также различная. Тогда разбивают участки цепи на элементы (дифференцируют) и определяют закон Ома в каждом отдельном участке.
-
закон Ома, тогда для каждого участка
цепи сечением ∆S и длиной ∆l можно
записать закон Ома как:
.
Учитывая, что для участка цепи
и 
,
получим 
Это закон Ома в дифференциальной форме. Зная, что удельная электропроводность σ и удельное сопротивление ρ связаны, как:
,где
σ - удельная электропроводность, ρ -
удельная сопротивление,
-
закон Ома в дифференциальной форме.
З-н Джоуля-Ленца в инт. форме:
Закон Джоуля - Ленца касается закона сохранения энергии; если считать, что система электрической цепи замкнутая, то работа по перемещению заряда в проводнике, если сам проводник не перемещается в пространстве, полностью преобразуется в тепловую энергию Q на участке (1-2).
Учитывая,
что q=I· t получаем: Q=IU·t (1)
(2)
(3)
Вид формулы для Q определяется условием задачи по определению выделившегося тепла. Формулы (1), (2), (3) есть закон Джоуля-Ленца в интегральной форме (определение полного тепла, выделившегося в цепи за все время протекания тока).
Тепловая мощность тока.
Для определения количества теплоты, выделившегося в единицу времени, вводят понятие тепловой мощности тока:
.
Единицей мощности тока считают 1Вт=1Дж/1с.
З-н Джоуля-Ленца в диф. форме:
Если электрическая цепь состоит из элементов различного сопротивления и геометрии, то цепь разбивают на отдельные участки и определяют закон Джоуля - Ленца для каждого участка. Последовательно расписывая
Из закона Ома в дифференциальной форме следует:
,
т.к.
Количество
тепла, выделяемое в единице объема
проводника за единицу времени равно
квадрату плотности тока, умноженному
на ρ, или квадрату напряженности
электрического поля, деленному на ρ.
Это закон Джоуля- Ленца в дифференциальной
форме:
.