1.5 Стаціонарна теплопровідність багатошарової плоскої стінки

Стінка складається із трьох різнорідних, але щільно прилягаючих один до іншого шарів. Відомі t₁ та t₄, а також . Через стінку проходить постійний питомий тепловий потік q. Температурне поле знаходиться у стаціонарному стані.

Треба визначити тепловий потік q та t₂ і t₃.

Рисунок 1.3. Схема розподілу температури по перерізу

тришарової плоскої стінки

Окільки тепловий потік постійний, він для кожного шару однаковий:

; ( 1.21 )

; ( 1.22)

. ( 1.23 )

Визначимо кожного шару

; ( 1.24)

( 1.25 )

. ( 1.26)

Якщо скласти всі температурні перепади, отримаємо

, ( 1.27)

де - повний температурний напір. Знаючи q, можна визначити температури t₂ і t₃. Так, із формули ( 1.23) маємо

( 1.28 )

Із формули ( 1.22) витікає

( 1.29 )

Для випадку n-шарової стінки будуть вирази

; . ( 1.30 )

Загальний термічний опір n-шарової стінки дорівнює сумі термічних опорів усіх стінок окремо. Усередині кожного шару температура розподіляється по прямій, якщо у кожному шарі коефіцієнт теплопровідності не залежить від температури. У цілому для багатошарової стінки у стаціонарному температурному полі температурна крива є ламана лінія.

1.6. Стаціонарна теплопровідність одношарової циліндричної стінки

Для спрощення розглядаємо циліндр довжиною 1м. Внутрішній радіус r₁, зовнішній радіус r₂. Відомі коефіцієнт теплопровідності ( що не залежить від температури) та температури на поверхнях стінки t₁ i t₂. При цьому .

Рисунок 1.4. Розподіл температури у циліндричній стінці

Характерною особливістю передачі теплоти через циліндричну стінку шляхом теплопровідності є та обставина, що величина поверхні, через яку входить тепловий потік, відрізняється від величини поверхні, через яку тепловий потік виходить. При цьому загальний тепловий потік лишається у стаціонарному температурному полі однаковим, а питомий потік (тобто віднесений до одиниці площі) змінюється. Величина кожної ізотермічної поверхні відрізняється від іншої. Дійсно, внутрішня поверхня стінки становить величину , а зовнішньої . Оскільки r₂>r₁,то і .

Розглянемо нескінченно тонкий шар товщиною , який знаходиться на відстані r від початку горизонтальної осі при температурі t (R). Згідно із законом Фур^,є маємо для теплоого потоку

( 1.31 )

Розділимо змінні

. ( 1.32 )

Після інтегрування змінних у межах та маємо

. ( 1.33 )

або

( 1.34 )

У даному випадку тепловим опором є вираз

( 1.35 )

Якщо циліндрична стінка багатошарова, то маємо