Нормальном виде.
Определение.
Решением системы (1) называется
совокупность функций
удовлетворяющих каждому из уравнений
этой системы одновременно. Общим
решением системы (1) называется совокупность
функций
=
,
;
=
,
,
……
=
,
.
84
Теорема Коши существования и единственности решения системы (1).
Рассмотрим нормальную систему 3-х уравнений с неизвестными функциями y,x, z; t – независимая переменная.
)
(2)
Если
правые части уравнений системы (2) fi
(t,x,z)
(I = 1,2,3) непрерывны по всем
переменным в некоторой области G
и имеют в ней непрерывные частные
производные
, тогда, каковы бы ни были значения t0
, x0 , y0
, z0 , принадлежащие
области G , существует
единственное решение системы x(t),
y(t), z(t)
, удовлетворяющее начальным условиям
: x(t0)
= x0 ; y(t0)
= y0 ; z(t0)=z0
.
Метод исключения неизвестных
Для интегрирования системы (2) можно применить метод ,с помощью которого данная система (2) , содержащая три уравнения относительно 3-х функций , сводится к одному уравнению третьего порядка относительно одной неизвестной переменной. Этот метод называется методом исключения неизвестных.
Пример.
Решить систему уравнений
и выделить частное решение , удовлетворяющее
начальным условиям : x(0)
= 0 ; y(0) = 1.
Решение. Обе части 1-го уравнения дифференцируем по переменной t .
в это соотношение
подставляем
из второго уравнения системы
– 2x – 5y
,теперь из 1-го уравнения системы выражаем
y=
и подставляем в полученное соотношение
– 2x - 5
-35x.Получаем дифференциальное
уравнение второго порядка
,решаем его k2
+ 12k + 37 = 0
k1,2 = 6
, корни комплексно сопряжённые , решение
запишется так : x =
.
Найдём
функцию y. Дифференцируем
x:
подставляем в y
, y =
)+
+7
.
Запишем общее решение системы
,
подставляем
в него начальные условия 0 =
;
1 = (
Частное решение имеет вид:
85
x
=
y
=
.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод характеристического уравнения( Метод Эйлера)
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами
Это алгебраическая
форма записи
системы уравнений.
…………………………………………………
– числа.
.
87
d
тензорная форма записи системы.
, где
- искомый вектор, А – линейный оператор
, матрица (n
- операторная форма записи системы.
=
- матричная форма записи системы.
…
Р
ассмотрим
систему для n = 3.
=
=
(1)
=
Будем искать решение этой системы в виде
x=
; y =
; z =
.
(2)
Надо
определить
при которых система (1) имеет решение
(2). Для этого подставим (2) вместе со
своими производными в (1) .
x’=
; y’ =
; z’ =
.
= 0
или
(3)
.
Чтобы система (3) имела решение, необходимо и достаточно равенство нулю определителя системы.
86
.
(4)
Равенство (4) представляет собой уравнение третьей степени относительно k и называется характеристическим уравнением для системы (1).
Ограничимся
случаем , когда корни этого уравнения
действительные различные k1
, k2 , k3
. Для каждого из этих корней напишем
соответствующую систему (3) и определим
коэффициенты
,
,
;
Если обозначить частные решения системы
, соответствующие корню характеристического
уравнения k1 через
x1 ,y1
, z1 ; соответствующие
корню k2 - x2
,y2 ,z2
; и корню k3 через x3
,y3 ,z3
,то общее решение системы (1) запишем в
виде:
x
(t)
= c1x1
+ c2x2
+ c3x3
x(t) = c1
y(t)
= c1y1+
c2y2
+ c3y3
или x(t) = c1
z(t)
= c1z1
+ c2z2
+ c3z3
x(t) = c1
П
ример.
Найти общее решение системы уравнений
:
Решение. Составляем характеристическое уравнение
= 0 , решаем его k2
+2k – 3 = 0
k1 =- 3, k2
=1.
x1
=
; y1 =
.
x2
=
; y2 =
. Теперь найдём
1
).k1
= - 3 , [ -2 – (-3)]
-1
- (-3)
= 0
-
Эта система имеет бесчисленное
множество решений , так как второе
уравнение есть следствие первого .
Полагая
x1 = 3
; y1 =
.
2
).
k2 = 1 , -3
- 3
= 0
-
Полагаем
, тогда x2 =
;
y2 = -
.
О
твет
: x(t)
= 3C1
C2
y(t)
= C1
C2
87
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. : Айрис .1996.287с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах . Ч. 1,2.М.: Высш. шк., 2003. – 415с.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1,2. – 2-е изд., М.:Айрис – пресс, 2003. – 546с.
4. Рябушко А.П. , Бархатов В.В., Державец В.В. , Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике :учеб. пособие. Ч.1,2 . – Минск:Высш.шк., 1991. -267,352с.
5. Шнейдер В.Б. и др. Краткий курс высшей математики . М.: Высш. Шк.Ч.2., 1972. – 278с.
88
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Приложения производной
Лекция 1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.
Правило Лопиталя. ---------------------------------------------- 3
Лекция 2. Исследование поведения функций и построение графиков.
Признаки монотонности функции.-------------------------------- 5
Лекция 3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования
функций. ---------------------------------------------------------- 8
Лекция 4. Некоторые численные методы. ----------------------- 11
Лекция 5. Метод касательных (метод Ньютона). Комбинированный
метод. Интерполяционная формула Лагранжа.-------------------------- 13
Лекция 6. Конечные разности . Интерполяционная формула
Ньютона. ------------------------------------------------------------------------------ 16