1. Область определения d(f):

D(f) = (– ; )  ( ; + ).

2. вертикальные асимптоты (f(x) = ± ): x = – одна вертикальная асимптота.

3. вид функции (периодичность f(x + T) = f(x), чётность f(–x) = f(x), нечётность f(–x) = –f(x)): функция непериодическая,

–

функция общего вида.

4. область значений Im(f) = {f(x) B | x  A}:

Im(f) = {  R | x  R} = (– ; + ).

5. нули функции (f(x) = 0): x² = 0  x = 0 – единственный нуль.

6. Промежутки знакопостоянства (f(X) 0):

> 0  x²(3x – 2) > 0

Н еравенство решаем методом интервалов. Здесь две критические точки: x = 0 , x = , которые делят числовую ось на 3 интервала знакопостоянства: > 0  x  ( ; +  ), < 0  x  (– ; ).

7. максимумы, минимумы (f(x) = 0):

y(x) = 0  x(3x – 4) = 0.

Два корня очевидны: x = 0 и x = .

Итак, f(x) имеет два корня x₁ = 0, x₂ = , которые разбивают числовую ось на 3 отрезка, на которых f(x) знакопостоянна:

В точке 0 возрастание сменяется убыванием, т.е. x = 0 – точка локального максимума, а в точке убывание сменяется возрастанием, т.е. это – точка локального минимума. Можно вычислить значения функции в этих точках: f(0) = 0, f( ) = .

8. промежутки возрастания, убывания (f(x) 0): найдены ранее.

(y(x) возрастает )  y(x) > 0  x  (– ; 0)  ( ; + ),

(y(x) убывает )  y(x) < 0  x  (0 ; ).

9. точки перегиба (f(x) = 0): y(x) =

=

Таким образом, f(x)  0, точек перегиба нет.

10. выпуклость, вогнутость (f(x) 0):

(f выпукла вниз)  f(x) > 0  x > ,

(f выпукла вверх)  f(x) < 0  x < .

11. наклонные асимптоты (y = kx + b, k = , b = )

Имеем , = = . Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту y = при x  – .

Аналогично , = = . Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту y = при x  + .

На основании проведённого исследования функции строим её график (см. рисунок ниже):

Вариант 0

1. Найдите .

2. Решите методом Гаусса .

3. Двумя способами решите матричное уравнение X = .

4. Для параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ с вершинами A(–1; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –1), B₁(–2; –2; –2) найдите: а) его объём V, б) пло­щадь S_ABCD грани ABCD, в) кано­ническое уравнение прямой l = (B₁A₁), г) угол ((ABB₁), (ABD)) между гранями (ABB₁) и (ABD).

5. Найдите производную y(x): а) , б) , в) , г) x – y + e^yarc tg x = 0 .

6. Исследуйте функцию и постройте график: .

Вариант 1

1. Найдите .

2. Решите методом Гаусса .

3. Двумя способами решите матричное уравнение X = .

4. Для параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ с вершинами A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), B₁(2; 2; 2) найдите: а) его объём V, б) пло­щадь S_ABCD грани ABCD, в) кано­ническое уравнение прямой l = (B₁A₁), г) угол ((ABB₁), (ABD)) между гранями (ABB₁) и (ABD).

5. Найдите производную y(x): а) , б) y = (e^{cos x} + 3)², в) y = ln(sin(2x + 5)), г) .

6. Исследуйте функцию и постройте график: .