1.4 Моментом импульса (количества движения) материальной точки а относительно неподвижной точки о называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

L = [rp] = [r,mv],

где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А; р = mv — импульс материальной точки (рис. 30); L — псевдовектор (см. § 4), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p

Модуль вектора момента импульса

где а — угол между векторами г и р; / —плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Ьг, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно

произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса гг, с некоторой скоростью ц. Скорость Vi и импульс тгц перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора тД. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен

произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (отно-

сительно поворота замкнутой системыв пространстве на любой угол).

1.5 Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F — —кх, где к — жесткость пружины. Уравнение движения маятника в отсутствие сил трения

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = A cos(uj0t + Ф) с циклической частотой

d²x/dt²+w₀²x=0 –уравнение свободных незатух гармон. кол.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

или

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

Сложив (141.3) и (141.5), получим формулу для полной энергии:

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

1.6 x’’+2Ɓx’+w₀²x=0 ; d²x/dt²+2Ɓ*dx/dt+ w₀²x=0- уравнение свободных затух гармон. кол.

x=Ae^-Ɓt*cos(wt+ȹ₀)

e^-Ɓt- дескремент затухания

Ɓ-коэф. затухания 2 Ɓ=к/2m

mx’’=-kx-rm’

ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ - количественная характеристика быстроты затухания колебаний в линейной системе; представляет собой натуральный логарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

1.7 Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действиемсилы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) в отсутствие сил трения вращающий момент М можно записать в виде

При малых колебаниях маятника (малых отклонениях маятника из положения равновесия)

sina ≪ а. Тогда уравнение (142.4) можно записать в виде

1.8 Распространение колебаний от точки к точке, от частицы к частице в упругой среде называется механической волной.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы

среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных —в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. в твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как

продольные, так и поперечные.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

где А — const — амплитуда волны; w-циклическая частота; ф0 — начальная фаза волны; определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t;

-фаза плоской волны

Для характеристики волн используется волновое число

Учитывая (154.3), уравнению (154.2)можно придать вид

ȹ=wt-kx+ȹ₀-фазовая скорость движения фронт волны

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

1.9 В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность же газов от давления зависит существенно. Сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент AS с силами AF, которые не-

зависимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке AS, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости:

Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля1: давление на поверхности жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

При равновесии жидкости давление погоризонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности р вес Р = pgSh, а давление на нижнее основание

Давление pgh называется гидростатическим давлением.

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые

проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а

также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

За время At через сечение £ проходит объем жидкости SvAt; следовательно, за 1 с через S1 пройдет объем жидкости SiVi, где vi — скорость течения жидкости в месте сечения Sh Через се-

чение S2 за 1 с пройдет объем жидкости

S2v2, где v2 — скорость течения жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (р = const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение Sh т. е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение (29.1) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е2 — Ех идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости:

где ЕхиЕ2 — полные энергии жидкости массой т в местах сечений Si и S2 соответственно.

Полные энергии Ех и Е2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:

-УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛИ

Уравне-ние Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и

для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина динамическим давлением. Как уже указы-

валось выше (см. § 28), величина pgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h{ — h2) выражение (30.6) принимает вид

где р + называется полным давлением.

2.1 Состояние газа произвольной массы можно охарактеризовать тремя макроскопическими параметрами – объемом, давлением и температурой.

Уравнение состояния идеального газа устанавливает связь между этими параметрами и используется для изучения тепловых процессов в газах.

Существует несколько выражений для уравнения состояния идеального газа:

1. Уравнение Менделеева – Клайперона

- характеризует состояние газа при тепловом равновесии

Где : р - давление газа (Па)

V – объем газа (м3)

T – температура газа (К)

m – масса газа (кг)

М – молярная масса газа (кг/моль)

R – универсальная газовая постоянная

Где :k – постоянная Больцмана

Na - постоянная Авогадро

2. Уравнение Клайперона

- описывает переход газа из одного состояния в другое

Где: – параметры газа в момент 1

– параметры газа в момент 2

Дополнительные формулы

1. другой вид уравнения состояния идеального газа

Где: k - постоянная Больцмана

n – концентрация молекул

Т – температура газа

2. используя уравнение состояния идеального газа, можно получить формулу для определения плотности газа

3. для смеси газов справедлив закон Дальтона

Где:

и т.д. – парциальные давления газов

Парциальное давление газа - это давление одного газа из смеси газов, если бы он один занимал весь используемый для смеси сосуд.

Изопроцессы

Изотермический процесс (T = const)

Изотермическим процессом называют квазистатический процесс, протекающий при постоянной температуре T. Из уравнения (*) состояния идеального газа следует, что при постоянной температуре T и неизменном количестве вещества ν в сосуде произведение давления p газа на его объем V должно оставаться постоянным:

На плоскости (p, V) изотермические процессы изображаются при различных значениях температуры T семейством гипербол p ~ 1 / V, которые называются изотермами. Так как коэффициент пропорциональности в этом соотношении увеличивается с ростом температуры, изотермы, соответствующие более высоким значениям температуры, располагаются на графике выше изотерм, соответствующих меньшим значениям температуры (рис. 3.3.1). Уравнение изотермического процесса было получено из эксперимента английским физиком Р. Бойлем (1662 г.) и независимо французским физиком Э. Мариоттом (1676 г.). Поэтому это уравнение называют законом Бойля–Мариотта.

Изохорный процесс (V = const)

Изохорный процесс – это процесс квазистатического нагревания или охлаждения газа при постоянном объеме V и при условии, что количество вещества ν в сосуде остается неизменным.

Как следует из уравнения (*) состояния идеального газа, при этих условиях давление газа p изменяется прямо пропорционально его абсолютной температуре: p ~ T или

На плоскости (p, T) изохорные процессы для заданного количества вещества ν при различных значениях объема V изображаются семейством прямых линий, которые называются изохорами. Большим значениям объема соответствуют изохоры с меньшим наклоном по отношению к оси температур (рис. 3.3.2).

Рисунок 3.3.2.

Семейство изохор на плоскости (p, T). V3 > V2 > V1

Экспериментально зависимость давления газа от температуры исследовал французский физик Ж. Шарль (1787 г.). Поэтому уравнение изохорного процесса называется законом Шарля.

Уравнение изохорного процесса может быть записано в виде:

где p0 – давление газа при T = T0 = 273,15 К (т. е. при температуре 0 °С). Коэффициент α, равный (1/273,15) К–1, называют температурным коэффициентом давления

Изобарный процесс (p = const)

Изобарным процессом называют квазистатический процесс, протекающий при неизменным давлении p.

Уравнение изобарного процесса для некоторого неизменного количества вещества ν имеет вид:

где V0 – объем газа при температуре 0 °С. Коэффициент α равен (1/273,15) К–1. Его называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.

2.2 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями уъ г>2,..., vN, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет вид

Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям

дает ту же формулу. Учитывая, что п =N/v получим

или

где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

2.3 Молекулы газа совершают хаотическое движение. В результате многократных соударений скорость каждой моле Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу. Учитывая, что п = , получим кулы изменяется как по модулю, так и по направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул. По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой т 0 в газе, находящемся в состоянии равновесия при ( Т= const), остается постоянной и равной (vKn)=3kT/m

Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон те-оретически выведен Дж. Максвеллом

МА́КСВЕЛЛА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, распределение по скоростям частиц (молекул) макроскопической физической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, (в отсутствии внешнего поля, при условии, что движение частиц подчиняется законам классической механики. Установлено Дж. К. Максвеллом в 1859.

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям основан на предположениях, что газ состоит из большого числа N одинаковых молекул, его температура постоянна, а молекулы совершают тепловое хаотическое движение. При этом на газ не действуют силовые поля.

Функция распределения молекул по скоростям f(v)=dN(v)/Ndv определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv и имеет смысл плотности вероятности.

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v) —закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

- функция распределения

• - число молекул, скорости которых лежат в интервале от до

N- общее число молекул газа.

m- масса одной молекулы,

T- абсолютная температура,

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью.

Средняя скорость молекулы (средняя арифметическая скорость)

среднюю квадратичную скорость

Распределение Максвелла не зависит от взаимодействия между молекулами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно применить классическое описание.