Задача 1

Знайти матрицю Гессе, дослідити функцію на опуклість та знайти екстремуми функції:

1.1. Z = 2х² + ху + у² + х – у + 1; 1.2. Z = х₁² + х₂² 1.3. Z = х₁² - х₂²;

1.4. Z = 2х₁² + 3х₂² + х₃²; 1.5. Z = х₁ х₂.

Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем. Лабораторне заняття №12

Тема заняття: Розв’язання задач нелінійного програмування методом множників Лагранжа.

Мета: сформувати вміння та навички розв’язання задач нелінійного програмування методом множників Лагранжа.

Методичні рекомендації: Вивчити лекцію №8 та ознайомиться з наступною літературою [2 с. 183-208], [3 с. 252-294].

Постановка завдання:

Загальна задача нелінійного програмування полягає у знаходженні максимального(мінімального) значення функції

Z=f(x₁, x₂,….. x_n) →max/ min (1)

за умов

g_i(x₁, x₂,….. x_n) { ≤=≥}b_i, i=1,2…..m (2)

де всі функції (або їх частина) нелінійні.

Функція f з (1) – цільова функція, а умови g_i з (2) - умовами обмеження.

Сукупність змінних, що задовольняють обмеженням (2) задачі називається допустимим розв’язком або планом. Кожному допустимому розв’язку відповідає певне значення цільової функції.

Задачі НП розв’язуються значно складніше, ніж задачі ЛП. Для відшукання їх розв’язків немає універсального методу.

Лише для небагатьох типів задач НП розроблені обчислювальні методи їх розв’язання.

Найбільш вивчені задачі з нелінійною цільовою функцією певного виду і лінійними обмеженнями. Для розв’язання таких задач використовується ідея зведення до лінійного вигляду, що допускає застосування симплексного методу. Ще однією особливістю задач НП є наявність точок оптимуму, які можуть бути як граничними, так і внутрішніми точками області допустимих розв’язків.

Стратегія вирішення задачі

Функція зветься узагальненою функцією Лагранжа, числа – множники Лагранжа.

Класична функція Лагранжа має вигляд .

Градиєнтами узагальненої та класичної функцій Лагранжа по х є вектор-стовпець з частинними похідними першого порядку

, .

Другим диференціалом узагальненої та класичної функцій Лагранжа є

, .

Першим диференціалом обмежень g_j(x) є функція

.

Результати досліджень локальних екстремумів в точці х^* приводимо у таблиці 1.

Таблиця 1.

№			Тип умовно-стаціонарної точки х*
1	>0	0,	Умовний локальний мінімум
2	<0	0,	Умовний локальний максимум
3	≥0	0	Може бути умовний локальний мінімум. Необхідні додаткові дослідження.
4	≤0	0	Може бути умовний локальний максимум. Необхідні додаткові дослідження.
5	=	0	Необхідні додаткові дослідження.
6	>0, <0	0	Екстремуму немає.

Приклад 1.

Знайти умовний екстремум функції за методом множників Лагранжа :

1. Перевіряємо умову регулярності. Так як для усіх точок , то умова регулярності виконується. Тому, скористаємося класичною функцією Лагранжа.

2. Скаладаємо функцію Лагранжа .

3. Записуємо необхідні умови екстремуму першого порядку 3.1. 3.2. .

4. Рішенням системи є дві точки умовного екстремуму .

5. Перевіряємо достатні умови екстремуму в точці А , <0, при . Тому в точці А маємо умовний локальний максимум.

6. Перевіряємо достатні умови екстремуму в точці В , >0, при . Тому в точці В маємо умовний локальний мінімум.