3 Численное моделирование систем, заданных в форме передаточных функций c использованием инструментов Matlab
Построение уравнений динамических систем в рамках теории управления можно производить с использованием пакета Control System Toolbox среды Matlab.
1) построение п.ф. системы – функция создания объекта п.ф.:
sys = tf(num, dem,'variable','p')
здесь
sys
–
имя объекта (п.ф.),
num
– вектор коэффициентов полинома
числителя п.ф., dem
– вектор коэффициентов полинома
знаменателя п.ф., 'variable','p'
–
флаг использования оператора
дифференцирования
.
Так
из примера
№1 имеем:
,
,
задаем значения коэффициентов этих
п.ф.:
,
,
.
Создаем два объекта п.ф.:
w1p=tf([0 k1],[1 0],'variable','p');
w2p=tf([0 k2],[T2 1],'variable','p');
результат:
>>w1p
Transfer function:
1
-
p
>> w2p
Transfer function:
2
---------
0.1 p + 1
2) нахождение п.ф. замкнутой системы – функция преобразований объектов п.ф.:
sys = feedback(sys1,sys2)
здесь sys1, sys2 – имена п.ф. в прямой и обратной цепи системы.
wzp = feedback(w1p,w2p);
результат:
>> wzp
Transfer function:
0.1 p + 1
---------------
0.1 p^2 + p + 2
3) построение
ПП для п.ф. замкнутой системы (численное
моделирование) – инструмент LTI
Viewer.
Для начала необходимо построить сигнал
управления, для чего зададим период
моделирования
,
период дискретизации
,
вектор точек дискретизации по времени
и вектор управления
.
Возьмем, например
,
,
.
Запускаем LTI Viewer – кнопка слева внизу основного экрана Matlab:
Start →Toolboxes→Control System→LTI Viewer.
В открывшемся окне импортируем п.ф. (в нашем примере - wzp), правой кнопкой на графике выбираем Plot Types→Linear Simulation.
В
этом окне импортируем время (вектор
)
и собственно сигнал управления (вектор
),
нажимаем кнопку Simulate.
В
основном окне LTI
Viewer
должен отобразиться график входной
функции
и искомый выходной сигнал
(см. пример на рисунке 2).
Рис. 2 Экраны настройки системы расчета ПП по заданному входному воздействию
N.B. Вышеописанную процедуру запуска средства LTI Viewer при построении ПП на заданное входное воздействие можно осуществить программным способом, как на примере:
lsim(wzp,u,tk);
4 Построение уравнений и численный расчет динамических систем с двумя входными сигналами
Рассмотрим пример замкнутой системы управления с двумя сигналами управления:
Рис. 3 Структурная схема замкнутой системы с двумя входными сигналами
N.B.
По сравнению со схемой рисунка 1 здесь
к сигналу выхода добавляется сигнал
, кроме того для удобства введено
дополнительное обозначение сигнала на
выходе входного сумматора
,
используемое в дальнейших построениях.
Наша задача – построить передаточную функцию системы в виде (1) и записать уравнение системы в линейном виде (2).
1. Строим
передаточную функцию системы, для чего
необходимо построить «цепи» прохождения
сигналов управления
и
на выход
;
для этого последовательно записываем:
– уравнение
выходного сумматора
;
– п.ф.
первого звена
;
– уравнение
входного сумматора (сумматора ОС)
;
– уравнение
цепи обратной связи:
;
Объединяя эти уравнения (последовательно подставляя одно в другое начиная с последнего), получим искомую запись:
или
где
и
-
пресловутые передаточные функции
«цепей» прохождения сигналов управления
на выход.
N.B. Данный результат можно получить быстрее, если использовать структурные преобразования схем и уравнение п.ф. замкнутой системы. Для этого «передвинем» выходной сумматор на вход системы:
Рис. 4 Преобразованная структурная схема замкнутой системы с двумя входными сигналами
И
запишем передаточную функцию замкнутой
системы:
.
Отсюда искомая запись:
2. Записываем
дифференциальное уравнение системы,
для чего записываем уравнения для п.ф.
звеньев (они заданны в виде:
,
,
где
и
- заданные полиномы от оператора
)
и подставляем их в запись для п.ф. системы
и упрощаем (сокращаем дроби):
Окончательно – искомое уравнение (перенося знаменатель в левую часть):
где
-
характеристический полином замкнутой
системы.
Пример
№3. Для
рассмотренной схемы примем:
,
.
Запись в виде передаточной функции: , отсюда:
и
запись для уравнения:
