2. Погрешности

Точность расчетов, выполняемых на ЭВМ, всегда объективно ограничена. Эти ограничения связаны с невозможностью представления в машине всего множества действительных чисел. В ЭВМ в основном используется два способа представления чисел: с естественным размещением (фиксированной) запятой и в форме с плавающей запятой. Характерной особенностью машинного представления чисел, в любой форме, является конечность разрядной сетки, в которой хранятся числа в машине.

Десятичные числа с фиксированной точкой – это привычная для нас форма записи чисел: 5; -10; 175, 12; 0, 00093 и т.д.

При решении прикладных задач в основном используются действительные числа. Для их представления используется форма с плавающей точкой. Десятичное число в этой форме записи имеет вид , где m – мантисса числаи n – его порядок. Например, число -273, 9 можно записать в виде:

-2739*10^-1; -2.739*10²;-0, 2739*10³.

Последняя запись – нормализованная форма числа с плавающей точкой. То есть, если представить мантиссу числа в виде m=0,d₁d₂…d_k, то при d₁≠0 получим нормализованную форму числа с плавающей точкой.

Мерой точности приближенных чисел является погрешность. Различают два вида погрешностей – абсолютную и относительную .

Пусть - точное значение какой-либо величины, которое, как правило, неизвестно, и - её приближенное значение, найденное каким-либо способом.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется абсолютная величина разности между соответствующим точным значением и его приближенным значением , то есть (1).

Здесь следует различать два случая:

1. число A нам известно, тогда абсолютную погрешность  легко определить по формуле (1);

2. число A нам неизвестно, что бывает чаще всего и,следовательно, мы не можем определить абсолютную погрешность по формуле (1).

В этом случае вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности  вводят её оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.

Предельная абсолютная погрешность является верхней оценкой абсолютной погрешности приближенного значения , т.е. . В дальнейшем значение принимается в качестве абсолютной погрешности приближенного значения . В этом случае истинное значение находится в интервале .

Далее для приближенного числа, полученного в результате округления, предельную абсолютную погрешность будем принимать равной половине единицы последнего разряда числа (a=0,734 =0,0005).

В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность .

Пример: если длина отрезка l=214 см с точностью до 0,5 см, то пишут .

Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления.

Пример: если при измерении длин двух стержней получены результаты и , то несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше, чем второго.

Абсолютная погрешность является количественной характеристикой измерения или вычисления. За качественную оценку измерения или вычисления отвечает относительная погрешность числа.

Относительной погрешностью приближенного значения величины называется отношение абсолютной погрешности этого значения к модулю соответствующего точного значения ( ): , так как чаще всего неизвестно, то .

На практике чаще всего приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби

.

Все сохраняемые десятичные знаки называются значащими цифрами приближенного числаa, причем возможно, что некоторые из них равны нулю (за исключением ).

При позиционном изображении числа a в десятичной системе счисления иногда приходиться вводить лишние нули в начале или в конце числа. Например,

a=7*10^-3+0*10^-4+1*10^-5+0*10^-6=0,007010или

a=2*10⁹+0*10⁸+0*10⁷+3*10⁶+0*10⁵=2003000000.

Такие нули (они подчеркнуты) не считаются значащими цифрами.

Значащей цифрой числа считается любая цифра в его десятичной записи, отличная от нуля и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного разряда.

Пример: 0,002080, в этом числе первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Два других нуля являются значащими цифрами, так как первый их них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй, как это отражено в записи, указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10^-6. в случае, если в данном числе 0,002080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0,00208. с этой точки зрения числа0,002080 и 0,00208 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе – лишь три значащих цифры.

Под верной цифрой числа, понимается его значащая цифра, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит данная значащая цифра.

Пример: x=0,1243=,.0001

1: 0,05>0,0001 Истина

2: 0,005>0,0001Истина

4: 0,0005>0,0001 Истина

3: 0,00005>0,0001 Ложь

В числе x=0,1243 три верных цифры.