Построение компьютерной модели. Моделирование

При построении моделей используют два принципа: дедуктивный (от общего к частному) и индуктивный (от частного к общему).

При первом подходе рассматривается частный случай общеизвестной фундаментальной модели. Здесь при заданных предположениях известная модель приспосабливается к условиям моделируемого объекта. Например, можно построить модель свободно падающего тела на основе известного закона Ньютона ma = mg-F_сопр и в качестве допустимого приближения принять модель равноускоренного движения для малого промежутка времени.

Второй способ предполагает выдвижение гипотез, декомпозицию сложного объекта, анализ, затем синтез. Здесь широко используется подобие, аналогичное моделирование, умозаключение с целью формирования каких-либо закономерностей в виде предположений о поведении системы. Например, подобным способом происходит моделирование строения атома. Вспомним модели Томсона, Резерфорда, Бора.

Технология построения модели при дедуктивном способе:

1. Теоретический этап: а) оценки; б) аналогии; в) подобие.

2. Знания, информация об объекте (исходные данные об объекте).

3. Постановка задачи для целей моделирования.

4. Выбор модели (математические формулировки, компьютерный дизайн).

Технология построения модели при индуктивном способе:

1. Эмпирический этап: а) умозаключение; б) интуиция; в) предположения; г) гипотеза.

2. Постановка задачи для моделирования.

3. Оценки. Количественное и качественное описание.

4. Построение модели.

Оценки. Аналогия. Подобие

При выборе той или иной модели часто бывает необходимо провести оценки характерных параметров объекта. Количественные и качественные оценки позволяют выделить доминирующие факторы, пренебречь несущественными, слабовлияющими на изучение объекта, параметрами. При проведении тестовых расчетов, численных экспериментов знание диапазона изменения величин, характеризующих процесс, позволяет оптимально спланировать компьютерное моделирование, экранный интерфейс, графику, дизайн.

В большей степени технология оценок параметров зависит от изобретательности исследователя, от знаний элементарных законов природы и математических методов. Четкой оценочной технологии не существует, поэтому рассмотрим некоторые приемы и способы.

В любом объекте, процессе, явлении можно выделить характерные параметры. Они определяют, как правило, некоторые значения величин, описывающих объект исследования в целом, например, характерное время процесса, геометрические размеры, скорость изменения чего-либо, температура, давление и т.д.

В первом приближении оценки параметров проводят по порядку величины. Порядок величины позволяет выделить главные и второстепенные факторы. Например, по двум трубам происходит наполнение бассейна водой. Диаметр одной трубы 10 см, а другой - 100 см.

Ясно, что основной вклад в процесс наполнения бассейна водой вносит вторая труба и при расчетах первой можно пренебречь.

Часто для оценок используют математические выкладки, расчеты. Многие задачи сводятся к оценке решения уравнения f(x)=0. Для оценки корня уравнения можно рекомендовать несколько способов.

1. Метод округления.

Имеем x²+10.9x-8.9=0, но заменим на x²+10x-10=0.

2. Графический метод.

Представим уравнение в виде y₁(x)=y₂(x), где f(x)=y₁-y₂=0. Теперь построим два графика у=у₁(х) и у=у₂(х) и найдем точки их пересечения.

3. Метод табуляции функции.

Строим таблицу:

xi	x0	x1	...	xn
yi	y0	y1	...	yn

и близкое к нулю значение y_i принимаем за приближенный корень.

Любые измерения производят в каких-то единицах: длина в единицах длины, вес - в единицах веса, время - в единицах времени и т.д. Существует огромное количество всевозможных единиц измерения. (Например, длина удава в попугаях). Для международного общения придуманы эталонные единицы измерения: метр, килограмм, секунда и другие.

Измерить - это значит сравнить с эталоном.

Отношение длин двух отрезков есть число, которое не зависит от единиц измерения (отношение отрезков), поэтому часто удобно проводить оценки в относительных, так называемых безразмерных, величинах.

Задача измерения длин кривых линий сводится к измерению отрезков.

Например, выкладываем нитку или веревку по форме измеряемой кривой, затем вытягиваем ее в отрезок и измеряем, или разбиваем кривую на небольшие участки, каждый из которых можно считать почти отрезком.

"Измерь себя и ты измеришь мир", - сказал один философ.

В жизни для измерения длины чего-либо можно использовать все подручные средства. Пальцы, ладонь, руки, ступни, спичечный коробок, монеты, бумажные деньги. Но для этого необходимо знать их размеры. Большие расстояния можно измерять шагами, на глаз, с помощью геометрических подобий и т.д. Знание фундаментальных законов распространения звука, света позволяет оценивать большие расстояния в пространстве.

Задачи измерения площади и объема требуют знания законов природы, свойств фигур, математических моделей.

Оценить площадь произвольной фигуры можно следующими методами.

1. Вписать в данную фигуру, или описать вокруг этой фигуры, или наложить на нее фигуру, площадь которой можно легко вычислить.

2. На фигуру накладываем клетчатое поле с известным масштабом и считаем количество клеточек.

3. Метод Монте-Карло. Помещаем искомую фигуру в область известной площади и случайным образом бросаем N точек.

Тогда  , где N₀- количество точек, попавших на фигуру с площадью S₀.

При практическом измерении объема можно использовать сосуд с известной емкостью - бутылку, банку, ведро и т.д. Разливая жидкость известного объема по сосудам разной формы, можно определить их объем.

Вообще при измерениях чего-либо требуется проявлять изобретательность и находчивость. В качестве упражнения попробуйте предложить несколько способов измерения высоты дерева, толщины бумажного листа, диаметра кирпича, объема булыжника, площади поверхности яйца.

Аналогичным образом можно оценивать и физические характеристики, такие как, вес, сила и т.п., используя сопоставления, попарное сравнение, прикидки на "глаз". Часто полезно привлекать при оценках физических величин эталоны, характеристики известных тел с известными свойствами.

В динамических процессах, как правило, оценивают скорость. Причем для выбора модели часто бывает полезно оценить минимальную среднюю и максимальную среднюю скорость с целью определения характерных параметров процесса. Пусть на станции, расположенной в 10 км от города, произошел взрыв цистерны с ядовитым газом. Требуется оценить безопасное время эвакуации жителей. Предположим, что скорость распространения газа в воздухе - V (величину V можно оценить как скорость ударной волны, или как скорость распространения возмущения (волны сжатия), или как скорость диффузии). Учет ветра может дать нижнюю и верхнюю оценки скоростей V_min = V - V_в , V_max = V + V_в, где V_в - скорость ветра. Соответственно имеем благоприятный интервал времени для эвакуации  и критическое время  . В действительности, процесс распространения газа до города будет протекать за характерное время  из [t_min,t_max].

В мире тепловых процессов характерные параметры можно оценить по известной формуле оценки глубины распространения тепла  , где а - коэффициент температуропроводности,   - время процесса.

В любых ситуациях при использовании элементарных знаний законов природы и достаточной изобретательности, можно оценить необходимые характерные параметры.

Аналогия - это сходство различных объектов по некоторым признакам. Основное значение аналогии состоит в возможности переноса сведений с одного объекта на другой (аналог) на основании умозаключения по аналогии.

Умозаключение по аналогии основано на предположении существования тождественности в различном и выполняется по схеме:

1. Установлено, что объект О₁ обладает свойствами С₀, С₁, ..., С_n.

2. Установлено, что объект О₂ обладает свойствами С₁, С₂, ..., С_n.

3. Вывод: возможно, что объект О₂ обладает свойством С₀, как и О₁.

Умозаключение по аналогии имеет гипотетический характер, но часто предоставляет наглядность сложных явлений при их изучении. Например, аналогия электрического тока в проводнике с движением жидкости по трубам позволяет изучать наглядно законы прохождения тока в электрической цепи.

По аналогии формируются некоторые физические понятия и явления, например, теплоемкость, электродвижущая сила, устойчивость и др.

Аналогичное моделирование - замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом.

Примеры использования аналогий в математике, физике, медицине и других науках:

• переход от функции одной переменной к функциям двух, трех и более переменных;

• от одномерных задач к двумерным, от двумерных к трехмерным;

• от планиметрии к стереометрии;

• от моделей микромира к макромирам и наоборот;

• аналогия распространения тепла, жидкости и электрического тока;

• от звука к волнам на воде;

• от симптомов болезни к диагнозу;

• от опытов над животными к человеку.

П одобие - это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными.

Два объекта подобны, если

1. Они имеют сходственные математические описания: F₁(y₁, x₁, t₁)=0; F₂(y₂, x₂ ,t₂)=0.

2. Сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называются масштабом или константами подобия.

Частным случаем подобия является геометрическое - подобие геометрических образов точек, линий, поверхности, фигур, тел. Физическое подобие означает подобие физически однородных объектов, временное подобие - подобие функции времени.

В теории и практике подобие имеет большее значение, чем аналогия. При аналогии двух объектов распространение свойств одного на другой носит характер предположения и нуждается в проверке. При подобии двух объектов знание одного означает знание другого.